경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2022A · #11

학년 8 arithmetic

exponentspolynomial-roots convert-to-algebrapattern-recognition ↑ 선수 지식: exponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

Ted 는 2^m · √(

\frac{1}{4096}

) 라고 써야 했는데 실수로 2 · ^m√(

\frac{1}{4096}

) 라고 썼습니다. 어떤 실수 m 에 대해 이 두 식의 값이 같아질까요? 그런 모든 m 을 찾아서 그 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

문제는 "두 식이 같다" 는 방정식을 위장한 모습. 도구 #5(패턴 찾기)로 4096 = 2¹² 임을 알아채면 모든 값을 밑 2 사다리 위에 올려놓을 수 있어 근호가 깔끔한 지수로 바뀝니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 양변 지수를 같다고 놓으면 m 에 대한 깔끔한 이차방정식이 나옵니다. 두 근을 따로 구해 더해도 되지만, 도구 #11(거꾸로 풀기)로 비에트 공식 -b/a 를 써서 풀지 않고 곧장 답을 얻을 수 있습니다. 마지막에 도구 #3(가능성 지우기)으로 다섯 선택지와 매칭.

1STEP 1

4096을 거듭제곱으로 쓰기

4096 = 2¹² 이므로 $\frac{1}{4096}$ = 2⁻¹² — 모든 근호와 지수가 밑 2 사다리에 올라옵니다.

4096 = 2¹² → 1/4096 = 2⁻¹²

2STEP 2

근호를 지수로 바꾸기

근호를 분수 지수로 바꾸면 (√x = x¹/2, m제곱근 = x¹/m) 양변이 2의 거듭제곱이 됩니다.

2^m · 2⁻¹2 · 1/2 = 2¹ · 2⁻¹2 · 1/m

3STEP 3

지수끼리 맞추기

각 변 지수를 모으면 (a^b·a^c = a^b+c) 밑이 같으므로 m - 6 = 1 - $\frac{12}{m}$ 이 성립합니다.

2^m-6 = 2¹ - 12/m → m - 6 = 1 - 12/m

4STEP 4

분모 없애 이차식 만들기

양변에 m 을 곱하고 (m ≠ 0 이므로 가능) 항을 모으면 m² - 7m + 12 = 0.

m(m - 6) = m - 12 → m² - 6m - m + 12 = 0 → m² - 7m + 12 = 0

5STEP 5

근의 합 이용하기

각 근이 아니라 근의 합이 목표: 비에트로 합 = - $\frac{b}{a}$ = 7; 검산 (m-3)(m-4)=0 → 3+4 = 7.

근의 합 = -b/a = --7/1 = 7 [(m-3)(m-4)=0, 3+4=7]

6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

합 7을 선택지와 대조: 7은 (C); 나머지 (5, 6, 8, 9)는 맞지 않습니다.

합 = 7 → (C)

정답

두 근을 원래 식에 대입해 확인. m = 3: 좌 = 2³ · √(2⁻¹²) = 8 · 2⁻⁶ =

\frac{8}{64}

\frac{1}{8}

; 우 = 2 · ∛(2⁻¹²) = 2 · 2⁻⁴ =

\frac{2}{16}

\frac{1}{8}

. 일치. m = 4: 좌 = 2⁴ · 2⁻⁶ =

\frac{16}{64}

\frac{1}{4}

; 우 = 2 · ∜(2⁻¹²) = 2 · 2⁻³ =

\frac{2}{8}

\frac{1}{4}

. 일치. 두 근 모두 실수이며 유효, 합 3 + 4 = 7이 맞고 답은 (C).

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 정수 지수 법칙만 알면 풀 수 있어요! 모든 4096을 2¹²로 바꿔 양변 지수를 같다고 놓으면 깔끔한 이차방정식 m² - 7m + 12 = 0이 나오고, 근의 합은 - $\frac{b}{a}$ = 7이 바로 답이에요.

4096을 거듭제곱으로 쓰기
근호를 지수로 바꾸기
지수끼리 맞추기
분모 없애 이차식 만들기
근의 합 이용하기
선택지와 맞춰 보기

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