경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2022A · #19
학년 7 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
양변에 L₁₇을 곱하면 h = Σ_k=1¹⁷ L₁₇/k — 17 개 정수의 합이 됩니다. 도구 #7 (쪼개기)가 두 부분으로 나눔: (a) 17 개 중 16 개는 17로 나누어지므로 mod 17 에서 0, (b) 살아남는 한 항 L₁₇/17 = L₁₆을 mod 17로 계산. 도구 #16 (관점 바꾸기): h 를 직접 공격하지 말고 mod 17 에서 살아남는 것만 세기 — 거의 모든 게 사라집니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기): L₁₇/k 를 기호적으로 다루며 gcd(17, k) = 1로 나누어떨어짐 논증.
분모 없애기
분모를 없앱니다. 양변에 L₁₇을 곱하면 정수들의 깔끔한 합이 나옴.
L₁₇/k 가 정수인 이유: L₁₇은 k ≤ 17 인 모든 k 로 나누어지도록 만들어졌으니까.
6.NS.A.1Convert To Algebra대부분 항이 사라짐 보이기
쪼개기 A: k = 1…16 에서 L₁₇ = 17 · L₁₆ 이므로 각 는 17의 배수.
L₁₇ 안의 17 인수는 17과 서로소인 무엇으로 나눠도 그대로 남습니다.
그 소수를 지니지 않은 것으로 나누면 그 소인수는 그대로 남는다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 관계없는 인수가 소수를 없앨 수 없다.
▸ 왜?
그러므로 그 몫도 여전히 그 소수를 지니며, 그 소수로 나누면 나머지가 남지 않는다.
남는 항만 남기기
쪼개기 B: 살아남는 항은 k = 17 뿐, = L₁₆, 따라서 h ≡ L₁₆ (mod 17).
16 개 항은 mod 17 에서 사라지고 하나만 남으며, 그 하나가 L₁₆.
6.NS.B.4Change Focus Count The Complement소인수분해하기
L₁₆을 소수 거듭제곱으로: 16 이하 각 소수의 최고 거듭제곱 → 2⁴ · 3² · 5 · 7 · 11 · 13.
1, …, 16의 LCM 은 ≤ 16 인 각 소수의 가장 강한 인수를 모은 것.
6.NS.B.4Identify Subproblems17로 나눈 나머지 구하기
L₁₆ mod 17 계산: 16 ≡ -1 (mod 17)로 바꾸고 한 단계씩 곱하면서 매번 mod 17로 줄임.
16 ≡ -1 트릭으로 수도 부호도 작게 유지.
7.NS.A.2Convert To Algebra나머지끼리 곱하기
곱할 때마다 축약: (-1)·9≡8, ·5≡6, ·7≡8, ·11≡3, ·13≡5, 따라서 h ≡ 5 (mod 17) → (C).
곱할 때마다 축약 — 모든 중간값을 두 자리 안에 유지.
7.NS.A.2Convert To Algebra양변에 L₁₇을 곱하면 h 는 정수 들의 17 항 합. 17이 소수이므로 k = 1, …, 16 모두에서 는 17의 배수 — 이 16 항은 mod 17 에서 사라집니다. 남는 것은 = L₁₆ = 2⁴ · 3² · 5 · 7 · 11 · 13 뿐; 단계별로 mod 17 축약하면 (C) 5.
- 분모 없애기
- 대부분 항이 사라짐 보이기
- 남는 항만 남기기
- 소인수분해하기
- 17로 나눈 나머지 구하기
- 나머지끼리 곱하기
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