AMC 10 · 2022 · #20

학년 8 arithmetic

sequences-arithmeticsequences-geometricsystems-of-equations convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticsequences-geometric

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 등차수열 (4 항) 과 양의 정수 등비수열 (4 항) 의 대응 항을 더해 새 수열을 만듭니다. 첫 세 항이 57, 60, 91 입니다. 네 번째 항을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

190

(B)

194

(C)

198

(D)

202

(E)

206

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

미지수 4 개 (a, d, b, r) 에 주어진 조건 3 개 — 양의 정수 조건이 없으면 결정되지 않습니다. 도구 #13 (대수로 바꾸기) 가 세 합을 방정식으로 변환. 도구 #7 (쪼개기): 연속 차분으로 a 를 죽이고, 또 한 번 차분해서 d 도 죽이면 b, r 만 남는 한 개의 정수방정식. 도구 #6 (추측하고 확인): b(r-1)² = 28 의 몇 안 되는 약수 사례. 도구 #3 (가능성 지우기): 등차의 양의 정수 조건에 실패하는 경우 제거.

1STEP 1

세 합을 방정식으로 정리.

a + b = 57 ; (a+d) + br = 60 ; (a+2d) + br² = 91

2STEP 2

쪼개기 A: a 를 죽이기. (2)에서 (1)을, (3)에서 (2)를 뺍니다.

d + b(r-1) = 3 ; d + br(r-1) = 31

3STEP 3

쪼개기 B: d 도 죽이기. 새 시스템의 두 식 차분.

br(r-1) - b(r-1) = 28 ⟹ b(r-1)² = 28

4STEP 4

양의 정수 조건에서 r 은 1 이 아닌 정수, (r-1)² 은 28 의 완전제곱 약수 (1, 4) — r = 2 또는 3.

(r-1)² ∈ {1, 4} ⟹ r ∈ {2, 3}

5STEP 5

경우 I (r = 2): b = 28, d = -25, a = 29. 등차 29, 4, -21, … 이 음수 — 탈락.

r=2: b=28, d=-25, a=29; 등차 29, 4, -21, … — 무효.

6STEP 6

경우 II (r=3, b=7, d=-11, a=50): 등차 50, 39, 28, 17, 등비 7, 21, 63, 189 — 모두 양수, 유효.

r=3: b=7, d=-11, a=50; 등차 50, 39, 28, 17; 등비 7, 21, 63, 189 — 유효.

7STEP 7

네 번째 합: S₄ = (a + 3d) + br³ = 17 + 189 = 206.

S₄ = 17 + 189 = 206 → (E)

정답

206

a = 50, d = -11, b = 7, r = 3 으로 주어진 세 합 모두 교차 검증. S₁ = 50 + 7 = 57 ✓. S₂ = 39 + 21 = 60 ✓. S₃ = 28 + 63 = 91 ✓. 네 합의 차분: S₂ - S₁ = 3, S₃ - S₂ = 31, S₄ - S₃ = 206 - 91 = 115. 2계 차분: 31 - 3 = 28, 115 - 31 = 84 = 3 · 28. 인수 3 이 r 과 일치 — 등비 공비 확인.

💡핵심 정리

조건이 셋, 미지수가 넷 — 양의 정수 규칙이 부족분을 메웁니다. 연속 차분을 두 번 하면 b(r-1)² = 28, 따라서 (r-1)² ∈ {1, 4}. 두 수열이 모두 양수가 되는 경우는 r = 3, b = 7 뿐 (50, 39, 28, 17 과 7, 21, 63, 189), S₄ = 17 + 189 = (E) 206.