경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2022A · #25

학년 8 geometry-2d

coordinate-geometrydivisibility-rulesmulti-digit-arithmetic convert-to-algebraidentify-subproblemsguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

축에 평행한 세 격자 정사각형 — R(1사분면, 왼쪽 변이 y 축 위), S(2사분면, 오른쪽 변이 y 축 위), T(아래쪽 변이 x 축 위, 위쪽 두 꼭짓점이 R ∪ S 안, y 축을 가로지름) — 이 다음을 만족합니다: R 의 격자점 수 =

\frac{9}{4}

· S 의 격자점 수; T 의 격자점 수 =

\frac{1}{4}

· (R ∪ S)의 격자점 수; S 의 격자점 중 S ∩ T 에 있는 비율 = 27 · R 의 격자점 중 R ∩ T 에 있는 비율. ℓ_R + ℓ_S + ℓ_T (변 길이 합)의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

336

(B)

337

(C)

338

(D)

339

(E)

340

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) — R, S 가 y 축에서 만나고 T 가 가로지르는 모양을 스케치하고 변 길이 ℓ_R, ℓ_S, ℓ_T 와 변당 격자점 수 r = ℓ_R + 1, s = ℓ_S + 1, t = ℓ_T + 1을 라벨링. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 세 조건이 각각 r, s, t 의 식 세 개로 변환되고, T 를 y 축으로 수평 분할. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 합쳐서 디오판토스 방정식 t² = k(13k - 1) (s = 4k) 한 개로 정리. 도구 #6(추측하고 확인) — 서로소 두 인자 k, 13k - 1이 각각 완전제곱이어야 하므로 k = 1², 2², 3², … 을 시도해 13k - 1도 완전제곱인 가장 작은 k 를 찾기. 도구 #3(가능성 지우기) — 선택지 범위 336 ~ 340으로 크기 확인.

1STEP 1

그림 그리고 표시하기

격자점 수 r, s, t 로 두면 #R = r², #S = s², #T = t². #R = $\frac{9}{4}$ #S 에서 r = $\frac{3}{2}$ s (s 짝수).

r = 3/2 s, s 짝수

2STEP 2

격자점 세기

R, S 는 y 축 변(s 점)만 공유하니 #(R ∪ S) = r² + s² - s. 둘째 조건 → 16 t² = s(13 s - 4).

16 t² = s(13 s - 4)

3STEP 3

y축에서 T 나누기

T 를 y 축으로 분할, 27 비율에서 x_p = 12 y_p, 따라서 t = 13 y_p - 1, t² ≡ 1 (mod 13).

x_p = 12 y_p, t = 13 y_p - 1, t² ≡ 1 (mod 13)

4STEP 4

식 간단히 하기

s 가 짝수라 s = 4k 대입, 식이 t² = k(13 k - 1) 로 깔끔히 정리(두 인자 서로소).

s = 4k, t² = k(13 k - 1)

5STEP 5

두 인수 모두 제곱수로 놓기

k 와 13 k - 1은 서로소라 둘 다 완전제곱: k = m², 13로 보면 m² ≡ 12 (mod 13).

k = m², 13 m² - 1 완전제곱, m² ≡ 12 (mod 13)

6STEP 6

작은 m 값 시험하기

m = 1…5 시도: m² ≡ 12 (mod 13) 첫 값은 m = 5, k = 25 면 13 k - 1 = 324 = 18² 완전제곱.

m = 5, k = 25, 13 k - 1 = 324 = 18²

7STEP 7

세 값 더하기

역대입: s = 100, r = 150, t = 90, 변 길이 합 149 + 99 + 89 = 337, (B).

ℓ_R + ℓ_S + ℓ_T = 149 + 99 + 89 = 337 → (B)

정답

337

수치 점검. 세 비율(

\frac{9}{4}

\frac{1}{4}

, 27)이 모두 같은 소인수 패턴(2, 3)을 공유해 r : s : t = 150 : 100 : 90 = 15 : 10 : 9의 깔끔한 답이 나옵니다. t = 13 y_p - 1 에서 y_p = 7, x_p = 12 · 7 = 84 라 T 의 아래 변에서 R 안쪽 7 열, S 안쪽 84 열 — 모두 ≤ s = 100, ≤ r = 150으로 T 의 위쪽 꼭짓점이 R ∪ S 안에 들어옴이 확인. 149 + 99 + 89 = 337가 (B)와 정확히 일치. 336 ~ 340 범위로 답의 자리수 확정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수와 제곱근만 있으면 풀려요 — 세 격자점 비율을 r, s, t 의 식으로 옮겨 s = 4k 일 때 t² = k(13k - 1)까지 정리하고, 서로소 두 인자가 각각 완전제곱이어야 한다는 사실로 k = 1, 4, 9, 16, 25를 손으로 시도해 k = 25 (13 · 25 - 1 = 324 = 18²)가 답이 됨을 봅니다. 그러면 r = 150, s = 100, t = 90이고 ℓ_R + ℓ_S + ℓ_T = 149 + 99 + 89 = 337.

그림 그리고 표시하기
격자점 세기
y축에서 T 나누기
식 간단히 하기
두 인수 모두 제곱수로 놓기
작은 m 값 시험하기
세 값 더하기

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