AMC 10 · 2022 · #15

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

sequences-arithmeticratio-proportionconvert-to-algebrapattern-recognition convert-to-algebraeasier-related-problempattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

등차수열의 첫째항이 a, 공차가 2 입니다. S_n 을 첫 n 항의 합이라 할 때, 비율

\frac{S_{3n}}{S_n}

이 n 과 상관없이 같은 값으로 나옵니다. S₂0 을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

340

(B)

360

(C)

380

(D)

400

(E)

420

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제): 간단한 a 값 몇 개를 넣고 $\frac{S_3}{S_1}$ , $\frac{S_6}{S_2}$ , $\frac{S_9}{S_3}$ 을 보기. 비율은 매번 같아야 함. a = 1 이면 수열은 홀수 1, 3, 5, … 이고 S_n = n² — 4 학년도 알아볼 만한 패턴. 그러면 $\frac{S_{3n}}{S_n}$ = $\frac{(3n)²}{n²}$ = 9 로 모든 n 에 대해 같음. 도구 #5(패턴) 가 홀수 합 법칙 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n² 을 확인. 도구 #6(추측·확인) 으로 a = 2, 3 등을 시험하면 a = 1 외엔 비율이 n 에 의존함이 보임. 도구 #13(대수) 가 백업: S_n = n(a + n - 1), 비율이 상수이려면 a - 1 = 0. 도구 #3(가능성 지우기) 으로 S₂0 = 400 을 선택지 (D) 와 매칭.

1STEP 1

첫째항 a = 1 이면 수열은 홀수 1, 3, 5, …, 부분합은 완전제곱 S_n = n².

S_n = 1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = n²

2STEP 2

S_n = n² 이면 S₃n = 9n², 따라서 $\frac{S_{3n}}{S_n}$ = 9 로 모든 n 에 동일 — 조건 성립, a = 1 확인.

\frac{S_{3n}}{S_n}

\frac{(3n)²}{n²}

= 9 (모든 n)

3STEP 3

a = 2 시도: $\frac{S_{3n}}{S_n}$ = $\frac{3(3n + 1)}{(n + 1)}$ 에 n 이 남아 탈락 — a = 1 만 비율을 고정.

a = 2 →

\frac{S_{3n}}{S_n}

\frac{3(3n+1)}{n+1}

(n 에 의존)

4STEP 4

대수 확인: S_n = n(a + n - 1) 이면 비율이 모든 n 에 상수이려면 a - 1 = 0, 즉 a = 1.

\frac{S_{3n}}{S_n}

\frac{9n + (3a - 3)}{n + (a - 1)}

상수 → a = 1

5STEP 5

S₂0 계산: a = 1 이면 S_n = n², 따라서 S₂0 = 20² = 400.

S₂0 = 20² = 400

6STEP 6

400 을 선택지와 맞추면 (D).

400 → (D)

정답

400

표준 등차 합 공식으로 직접 점검. a₁ = 1, a₂0 = 1 + 19 · 2 = 39, S₂0 =

\frac{20}{2}

· (1 + 39) = 10 · 40 = 400. 일치. 또한 홀수 수열에서 S_n = n² 은 잘 알려진 결과: 1, 4, 9, 16, 25, … — 완전제곱.

\frac{S_{3n}}{S_n}

= 9 도 직관적으로 자연 — 완전제곱 수열의 인덱스를 세 배 늘리면 9 배가 되어야 마땅.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 때 배운 일차함수 추론만 알면 풀 수 있어요! 상수 비율 조건이 수열을 홀수 1, 3, 5, … 로 고정해 주고, 그 합은 유명한 정사각형 패턴 S_n = n² 이므로 S₂0 = 400.

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