AMC 10 · 2022 · #21

학년 8 number-theory

polynomial-factoringpolynomial-rootssystems-of-equationspolynomial-remainderconvert-to-algebra easier-related-problemconvert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: polynomial-factoringsystems-of-equations

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

유리수 계수 다항식 P(x) 가 x²+x+1 로 나눈 나머지가 x+2, x²+1 로 나눈 나머지가 2x+1 이라 합니다. 이런 P(x) 중 차수가 가장 작은 유일한 다항식을 찾아, 그 계수들의 제곱의 합을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

도구 #9(더 쉬운 문제) — P 의 차수를 가장 작은 후보부터 시도(차수 2, 몫이 상수)해 무엇이 막히는지 보고, 그 다음 차수 3 (몫이 1차) 로 넘어가기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 두 표현 A = B 를 x 의 거듭제곱별 계수 일치 식 세 개로 분해. 도구 #13(대수로 바꾸기) — 이 작은 연립방정식을 풀기. 도구 #3(가능성 지우기) — 마지막 합 1²+2²+3²+3² = 23 이 (E) 임을 확인.

1STEP 1

P 가 차수 2 라면 두 몫이 상수라, 계수 비교에서 3 = 2 모순 — 차수 2 는 불가능.

차수 2 → 3 = 2 (모순)

2STEP 2

차수 3 이면 몫이 1차이고, 최고차항이 같아야 하므로 a 가 공통 — Q₁ = ax+b, Q₂ = ax+c.

Q₁ = ax+b, Q₂ = ax+c

3STEP 3

표현 1 전개: (x²+x+1)(ax+b) + (x+2) = ax³ + (a+b)x² + (a+b+1)x + (b+2).

P = ax³ + (a+b)x² + (a+b+1)x + (b+2)

4STEP 4

표현 2 전개: (x²+1)(ax+c) + (2x+1) = ax³ + cx² + (a+2)x + (c+1).

P = ax³ + cx² + (a+2)x + (c+1)

5STEP 5

계수를 차수별(x, 상수, x²)로 맞추면 연립이 풀려 a = 1, b = 1, c = 2.

a = 1, b = 1, c = 2

6STEP 6

a=1, b=1 을 표현 1 에 대입: P(x) = x³ + 2x² + 3x + 3, 표현 2 로도 같은 다항식 확인.

P(x) = x³ + 2x² + 3x + 3

7STEP 7

계수 1, 2, 3, 3 을 제곱해 더하면 1² + 2² + 3² + 3² = 1 + 4 + 9 + 9 = 23 → (E).

1² + 2² + 3² + 3² = 23 → (E)

정답

수치 점검. P(x) = x³ + 2x² + 3x + 3 을 원래 조건에 다시 대입. x²+x+1 로 나누면 P = (x²+x+1)(x+1) + (x+2), 나머지 x+2 — 일치. x²+1 로 나누면 P = (x²+1)(x+2) + (2x+1), 나머지 2x+1 — 일치. 계수 제곱 합 1+4+9+9 = 23, 정확히 (E). 차수 2 시도가 3 = 2 라는 수치 모순으로 실패했으니 차수 3 이 최소가 맞음. 선택지 10, 13, 19, 20 은 계수 하나를 빠뜨리거나 제곱 안 한 합 1+2+3+3 = 9 같은 함정.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 연립방정식만 있으면 풀려요 — 가장 작은 차수부터 시도하면 (3=2 라는 깔끔한 모순으로) 막히고, 다음 차수에서 미지 계수를 문자로 두고 동류항 비교로 세 식의 연립을 만듭니다. 풀면 P(x) = x³ + 2x² + 3x + 3, 계수 제곱 합은 1+4+9+9 = 23.