AMC 10 · 2022 · #8

학년 5 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Floor Count Across Residue Bins

multiplesmodular-arithmeticdivisibility-rulespattern-recognitioncomplementary-counting complementary-countingpattern-recognitioneasier-related-problem ↑ 선수 지식: multiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

1 부터 1000 까지의 정수를 연속한 열 개씩 묶어 100 개의 블록으로 나눕니다 — {1, 2, …, 10}, {11, …, 20}, …, {991, …, 1000}. 이 중 7 의 배수를 정확히 두 개 포함하는 블록은 몇 개인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2022 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

블록 100개를 일일이 세는 것은 노가다. 도구 #16(관점 바꾸기)으로 질문을 뒤집어 — 블록이 아니라 7 의 배수를 세고 그 배수들이 블록에 어떻게 흩어지는지 본다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 배수를 '소속 블록' 기준으로 묶기 — 각 블록은 정확히 1 개 또는 2 개 (0 도 3 도 없음). 도구 #9(더 쉬운 문제)로 이유 설명 — 7 간격, 폭 10 의 창에는 최대 두 개. 전체 배수 개수와 블록당 최소 개수를 알면 '여분'이 곧 두 개를 가진 블록 수. 대수 불필요.

1STEP 1

작은 블록부터 — {1–10} 은 7 배수 한 개, {11–20} 도 한 개, {21–30} 은 두 개(21, 28) — 개수는 1, 1, 2.

처음 세 블록의 7 배수 개수: 1, 1, 2

2STEP 2

7 배수는 7 간격 — 세 개는 14 ＞ 9(블록 폭)이라 불가능, 그래서 모든 블록은 1 개 또는 2 개.

간격=7 ＜ 10 → ≥ 1; 14 ＞ 9 → ≤ 2

3STEP 3

1000 이하 7 배수 세기 — 최대는 7 × 142 = 994 (7 × 143 = 1001 ＞ 1000), 따라서 모두 142 개.

⌊ 1000 ÷ 7 ⌋ = 142, 왜냐하면 7 × 142 = 994

4STEP 4

블록 수 a + b = 100, 배수 a + 2b = 142 — 두 식을 빼면 b = 42.

a+b = 100, a + 2b = 142 → b = 42

5STEP 5

따라서 7 배수를 정확히 두 개 가진 블록은 42 개 — 선택지 (B).

b = 42 → (B)

정답

양극 확인 — 1~1000 의 7 배수 총수는 ⌊

\frac{1000}{7}

⌋ = 142, 블록당 최소 1, 최대 2. 답 42 는 0 과 100 사이로 타당. 밀도 확인 — 연속한 7 블록(정수 70 개) 안에 7 의 배수는 ⌊

\frac{70}{7}

⌋ = 10 개, 대략 3 블록(2개)+4 블록(1개) 배치 (3 · 2 + 4 · 1 = 10). 100 블록으로 확장하면 약

\frac{3}{7}

· 100 ≈ 43. 정확한 총수 142 가 43 이 아닌 42 를 가리킴. (A) 40, (D) 49, (E) 50 은 밀도와 거리가 멀고 (C) 43 은 어림 평균값에 해당.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 5학년 나눗셈과 배수 개념만 알면 풀 수 있어요 — 1000 이하 7 의 배수는 142 개, 100 블록에 흩어지고 모든 블록에 최소 하나씩, 그러면 여분 142 - 100 = 42 가 곧 두 개를 가진 블록 수.

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