AMC 8 · 1999 · #24

학년 5 number-theory

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Power-Cycle Residue

modular-arithmeticunits-digit-trackingexponentspattern-recognitionparity modular-arithmeticpattern-recognitionmodular-arithmetic-mod-10 ↑ 선수 지식: exponentsmodular-arithmetic

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문제

1999²⁰⁰⁰ 을 5 로 나눈 나머지를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 1999 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

1999²⁰⁰⁰ 을 직접 계산할 수는 없으니, 도구 #9(더 쉬운 관련 문제) 로 다룰 수 있는 문제로 바꿉니다 — 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리만 보면 충분합니다. 밑수 1999 의 일의 자리가 9 이기 때문이고, 일의 자리만 같으면 5 로 나눈 나머지도 같습니다. 그 다음은 도구 #5(패턴 찾기) 가 마무리합니다 — 9¹, 9², 9³, … 의 일의 자리는 9, 1, 9, 1, … 로 길이 2 의 주기. 짝수 지수에는 1 이 오고, 1 을 5 로 나눈 나머지는 1. 도구 #13(대수) 이나 합동식 표기는 일부러 피했습니다 — 패턴만으로 충분합니다.

1STEP 1

5 로 나눈 나머지는 일의 자리만 결정하므로, 1999²⁰⁰⁰ 의 일의 자리만 구하면 됩니다.

1999²⁰⁰⁰ mod 5 = (1999²⁰⁰⁰ 의 일의 자리) mod 5

2STEP 2

밑수의 일의 자리만 중요하므로, 1999²⁰⁰⁰ 의 일의 자리는 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리와 같습니다.

1999²⁰⁰⁰ 의 일의 자리 = 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리

3STEP 3

9 의 거듭제곱의 일의 자리를 나열하면 9, 1, 9, 1, … 로 주기 2 로 반복합니다.

9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729, 9⁴ = 6561 — 일의 자리는 9, 1, 9, 1, …

4STEP 4

홀수 지수는 9, 짝수는 1; 2000 은 짝수이므로 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리는 1.

2000 은 짝수 → 9²⁰⁰⁰ 의 일의 자리 = 1

5STEP 5

일의 자리가 1 인 수는 5 로 나누면 나머지가 1 — 이것이 정답입니다.

1 ÷ 5 = 0 나머지 1 → (B)

정답

실제로 계산 가능한 작은 지수로 패턴을 확인해 봅니다. 9² = 81 은 일의 자리가 1, 81 = 16 × 5 + 1 로 나머지 1. 9⁴ = 6561 도 일의 자리가 1, 6561 = 1312 × 5 + 1 로 나머지 1. 9 의 모든 짝수 거듭제곱이 나머지 1 을 주므로 답 (B) 1 과 일관됩니다. 참고로 (A) 0 이 되려면 일의 자리가 0 또는 5 여야 하고, (E) 4 가 되려면 4 또는 9 여야 하는데 둘 다 이 주기에 등장하지 않습니다.

💡핵심 정리

1999²⁰⁰⁰ 을 다 계산할 필요는 없어요 — 일의 자리만 따라가면 됩니다. 9 의 거듭제곱은 일의 자리가 9, 1, 9, 1, … 로 반복되니까 짝수 지수면 항상 1 로 끝나고, 1 을 5 로 나눈 나머지는 1 입니다.

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