경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2023A · #11

학년 8 geometry-2d
pythagorean-theoremarea-rectanglessimilar-triangles convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-rectangles
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
넓이가 3 인 정사각형 안에 넓이가 2 인 정사각형이 비스듬히 끼워져 있고, 안쪽 정사각형의 꼭짓점은 바깥 정사각형의 각 변에 한 번씩 닿습니다. 그 결과 바깥 사각형의 네 모퉁이에서 합동인 직각삼각형이 잘려 나갑니다. 모서리에 생긴 직각삼각형의 짧은 변과 긴 변의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{5}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$2-\sqrt{3}$
(D)
$\sqrt{3}-\sqrt{2}$
(E)
$\sqrt{2}-1$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

먼저 도구 #1(그림 그리기)로 모서리 삼각형 하나를 라벨링하면, 두 다리가 바깥 사각형의 한 변 위에 끝과 끝을 맞대고 누워 있으므로 두 다리의 합이 바깥 변 √(3) 임이 그림에서 곧장 보입니다. 같은 그림에서 빗변이 안쪽 사각형의 한 변 √(2) 임이 드러나므로 피타고라스 정리로 두 번째 식을 얻습니다. 그다음 도구 #13(대수로 바꾸기)이 짧은 변 x 와 긴 변 y 에 대한 두 방정식을 깔끔히 정리해 닫힌 형태의 비를 뽑아냅니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 그 닫힌 형태를 수치 근사로 다섯 선택지와 맞춰 확인합니다.

1STEP 1

두 변의 길이 구하기

정사각형의 한 변은 넓이의 제곱근이므로 바깥 변은 √(3), 안쪽 변은 √(2).

s_바깥 = √(3), s_안쪽 = √(2)
2STEP 2

모서리 삼각형 표시하기

짧은 변을 x, 긴 변을 y 라 하면 바깥 한 변에서 x + y = √(3), 빗변은 안쪽 변 √(2).

x + y = √(3), 빗변 = √(2)
3STEP 3

피타고라스 정리 쓰기

직각삼각형에 피타고라스 정리를 쓰면(다리 x, y; 빗변 √(2)) x² + y² = 2.

x² + y² = (√(2))² = 2
4STEP 4

두 식 결합하기

x+y=√(3)을 제곱하고 x²+y²=2를 빼면 2xy = 1, 즉 xy = 12\frac{1}{2}.

(x+y)² = x² + 2xy + y² = 3 → 2xy = 3 - (x²+y²) = 3 - 2 = 1
5STEP 5

x와 y의 이차식 세우기

합 √(3), 곱 12\frac{1}{2} 이므로 x, y 는 2t² - 2√(3) t + 1 = 0의 근, 즉 t = 3±12\frac{\sqrt{3} ± 1}{2}.

2t² - 2√(3) t + 1 = 0 → t = (2√(3) ± √(12 - 8))/4 = (2√(3) ± 2)/4 = (√(3) ± 1)/2
6STEP 6

두 근의 비 만들기

짧은 변은 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2}, 긴 변은 3+12\frac{\sqrt{3}+1}{2} 이므로 그 비는 3−13+1\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}.

x/y = ((√(3)-1)/2)/((√(3)+1)/2) = (√(3)-1)/(√(3)+1)
7STEP 7

분모 유리화하기

분자·분모에 √(3)-1을 곱해 유리화하면 (3−1)22\frac{(\sqrt{3}-1)²}{2} = 2 - √(3).

(√(3)-1)/(√(3)+1) · (√(3)-1)/(√(3)-1) = ((√(3)-1)²)/(3-1) = (3 - 2√(3) + 1)/2 = (4 - 2√(3))/2 = 2 - √(3)
8STEP 8

선택지와 맞춰 보기

수치로 2 - √(3) ≈ 0.268 이므로 선택지 (C); 나머지는 0.20, 0.25, 0.318, 0.414.

2 - √(3) ≈ 0.268 → (C)
정답
2-√(3)
수치 점검: x + y = 3−12\frac{\sqrt{3}-1}{2} + 3+12\frac{\sqrt{3}+1}{2} = √(3)으로 바깥 변과 일치하고, x² + y² = (3−1)2+(3+1)24\frac{(\sqrt{3}-1)² + (\sqrt{3}+1)²}{4} = (4-2√(3)) + 4+234\frac{4+2\sqrt{3}}{4} = 84\frac{8}{4} = 2로 안쪽 변의 제곱과 일치. 방향 점검: 짧은 변 / 긴 변 은 1 보다 작아야 하는데 2 - √(3) ≈ 0.268 ∈ (0,1) — 통과.
💡핵심 정리

기울어진 정사각형을 그려서 모서리 삼각형 하나에 이름을 붙이면 두 가지 사실이 동시에 보입니다: 두 다리가 바깥 변 하나를 채워 x + y = √(3), 빗변이 안쪽 변이라 x² + y² = 2. 그 다음은 8학년 제곱근 대수가 마무리.

  • 두 변의 길이 구하기
  • 모서리 삼각형 표시하기
  • 피타고라스 정리 쓰기
  • 두 식 결합하기
  • x와 y의 이차식 세우기
  • 두 근의 비 만들기
  • 분모 유리화하기
  • 선택지와 맞춰 보기

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