AMC 10 · 2023 · #13

학년 8 geometry-2d

pythagorean-theoremangle-sum-triangleinscribed-anglearc-measure identify-subproblemseasier-related-problemcasework ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremangle-sum-triangle

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

Abdul(A)과 Chiang(C)이 48 피트 떨어져 서 있고, Bharat(B)이 같은 들판 어딘가에 서서 자기 시선으로 본 ∠ ABC = 60° (삼각형 ABC 의 B 에서의 각) 를 만들도록 합니다. 이러한 모든 B 위치 중에서 AB 가 최대가 되는 위치를 잡았을 때, AB² 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

1728

(B)

2601

(C)

3072

(D)

4608

(E)

6912

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): ∠ B = 60° 와 AC 를 고정한 채 B 를 여러 위치로 옮겨 보면, AB 가 최대가 되는 순간이 정확히 C 에서 직각이 만들어지는 순간임이 그림에서 보입니다. (직관: C 가 둔각이면 C 를 90° 쪽으로 움직일수록 AB 가 길어지고, 90° 를 넘기면 다시 줄어듦.) 도구 #9(더 쉬운 문제)는 "∠ B = 60° 인 모든 삼각형" 을 ∠ C = 90° 인 특정 30-60-90 삼각형 한 가지 케이스로 줄여줍니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 일을 셋으로 가릅니다: (a) ∠ C = 90° 가 정말 AB 를 최대화한다는 확인, (b) 그 30-60-90 에서 AB 계산, (c) 제곱.

1STEP 1

A·C 를 48 피트 벌리고 ∠ABC=60° 로 B 를 돌리면 B 는 A·C 지나는 원호 위를 움직여 AB 가 변합니다.

AC = 48, ∠ ABC = 60°

2STEP 2

도구 #9: 쉬운 케이스 ∠BCA=90° 를 시험. 두 각 합이 120° 이므로 ∠BAC=30°, 익숙한 30-60-90 삼각형.

∠ B = 60°, ∠ C = 90°, ∠ A = 30°

3STEP 3

AB 는 호의 현이라 지름이 될 때 최장 — 곧 반원에 든 원주각 ∠ACB=90° 인 순간이 최대.

∠ ACB = 90° ⇔ AB 가 호의 지름 ⇔ AB 최대

4STEP 4

직각삼각형 ACB 에서 AC=48 은 60° 의 대변; 30-60-90 비 √3:2 로 AB=2/√3·48=32√3.

AB = 2/√(3) · 48 = 96/√(3) = 96√(3)/3 = 32√(3)

5STEP 5

제곱: AB²=(32√3)²=1024·3=3072.

AB² = (32√(3))² = 32² · 3 = 1024 · 3 = 3072

6STEP 6

3072 은 정확히 (C). 점검: (E) 6912 는 AB=48√3 이 필요하지만 AB 는 호의 지름을 못 넘어 불가.

AB² = 3072 → (C)

정답

3072

방향 점검: ∠ C 가 90° 를 넘어가면 호가 다시 안으로 말리며 B 가 A 쪽으로 돌아오므로 ∠ C = 90° 가 정말 변곡점. 크기 점검: AB = 32√(3) ≈ 55.4 피트 — AC = 48 보다 큰 게 합당 (B 에서의 60° 가 더 짧은 변의 대각이므로). 제곱하면 55.4² ≈ 3070, 3072 와 일치. 끝-끝 피타고라스로 한 번 더: BC =

\frac{AB}{2}

= 16√(3), AC² + BC² = 48² + (16√(3))² = 2304 + 768 = 3072 = AB² — 깔끔.

💡핵심 정리

B 에서의 각을 60° 로 고정하면 B 는 A 와 C 를 지나는 원호 위에 묶이고, 그 호의 현 AB 는 지름이 될 때 가장 깁니다 — 그게 바로 ∠ C = 90° 인 순간. 그러면 삼각형 ACB 는 30-60-90 이 되어 AB = 2/√(3) · 48 = 32√(3), 따라서 AB² = 3072.