경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2023A · #14
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 두 단계 과정을 자연스러운 두 조각으로 나눕니다: (A) n 이 11의 배수일 확률 — 아니면 2단계가 절대 성공 못 함; (B) n 이 특정 11의 배수일 때, 무작위로 뽑은 n 의 약수가 11의 배수일 조건부 확률. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 (A)의 11의 배수 개수 세기를 담당. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 (B) 에서 약수 구조를 추상적으로 다루는 대신 n = 11의 작은 케이스를 시험하고, 도구 #5(패턴 찾기)로 모든 11의 배수가 정확히 절반의 약수만 11의 배수임을 확인합니다.
11의 배수 세기
100 이하 11의 배수를 나열: 11, 22, …, 99 — 모두 9 개.
11의 배수를 순서대로 적어보는 것은 4학년 "배수 판별" 의 정석 — 빠르고 빠짐없음.
4.OA.B.4Make A Systematic Listn이 배수여야 함 보이기
약수의 약수는 약수: 11 ∣ d 이고 d ∣ n 이면 11 ∣ n, 그래서 11의 배수인 n 만 11 배수 약수를 만들 수 있음.
"약수의 약수는 약수" — 4학년식 나눗셈 연쇄가 "기여 가능한 n" 을 골라줍니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems첫 확률 구하기
그래서 11의 배수 9 개만 중요; 첫 추출 n 이 그중 하나일 확률은 .
7학년 확률: 균등 추출에서 유리한 결과(9)를 전체(100)로 나눈 값.
7.SP.C.7Identify Subproblems가장 작은 배수 검사하기
가장 쉬운 n = 11 시도: 약수 {1, 11} 중 11의 배수는 하나뿐, 성공 비율은 .
가장 단순한 케이스가 구조를 드러냅니다: 11의 배수가 아닌 약수 k 와 11의 배수 약수 11k 를 짝지으면 정확히 절반.
4.OA.B.4Solve An Easier Related Problem약수 규칙 찾기
n = 22와 n = 99 확인: 약수가 , 로 나뉘어 리스트의 모든 11 배수가 비율 .
세 케이스 모두 1/2 — 나머지 여섯에서도 패턴이 유지된다는 확신.
4.OA.B.4Look For A Pattern약수 짝 짓기
왜 항상 ? n = 11k (k ≤ 9)의 약수는 d 와 11d 로 짝지어 11의 배수와 아닌 것으로 균등 분할.
약수 d 마다 11d 와 짝을 지으면 n 의 약수가 두 동일한 무리로 나뉩니다 — 6학년 GCF/인수쌍 관점.
각 약수를 그 약수의 11배와 짝지으면 약수가 크기가 같은 두 무더기로 갈린다.
▸ 왜?
그 인수를 지니지 않은 각 약수가 지닌 약수 하나와 정확히 짝지어지며, 남는 것이 없다.
▸ 왜?
약수는 곱해서 그 수가 되는 짝으로 오므로, 그 목록 전체가 이 짝짓기 아래에서 닫혀 있다.
두 단계 확률 곱하기
전체 확률의 법칙: 11의 배수 9 개만 기여, 각 조건부 에 가중치 → .
두 단계 균등 추출 → 단계 확률을 곱해 결과별로 더함 — 7학년 합성 확률.
7.SP.C.8Identify Subproblems선택지와 맞춰 보기
은 정확히 선택지 (B); (A) , (D) 은 오산에서 나오니 제외.
닫힌 형태 분수를 다섯 선택지와 매칭 — 표준 객관식 마무리.
7.SP.C.7Eliminate Possibilities1 ~ 100 중 11의 배수 9 개만이 "11의 배수인 약수" 를 만들 가능성이 있고, 그 각각에서 약수의 정확히 절반이 11의 배수 — 따라서 답은 · = .
- 11의 배수 세기
- n이 배수여야 함 보이기
- 첫 확률 구하기
- 가장 작은 배수 검사하기
- 약수 규칙 찾기
- 약수 짝 짓기
- 두 단계 확률 곱하기
- 선택지와 맞춰 보기
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