경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2023A · #17
학년 8 geometry-2d답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
직사각형 안에 직각삼각형 세 개가 붙어 있는 구도는 도구 #1(그림 그리기)을 부르는 전형 — BP, PC, DQ, CQ 를 그림에 표시하면 조건이 한눈에 보입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 퍼즐을 세 삼각형으로 나누면 각각 "빗변이 정수인 직각삼각형 찾기" 라는 독립 문제가 됩니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 직각변이 30 인 피타고라스 삼조와 28 인 삼조를 모두 적습니다 — (8,15,17), (3,4,5) 계열만 기억하면 짧은 목록. 그러면 세 번째 삼각형 △ PCQ 는 자동 결정되고, 그 변들이 정수인지만 확인하면 끝.
직사각형 그리고 표시하기
직사각형 ABCD 를 그리고 P·Q 를 표시. 모서리 B, C, D 에 직각삼각형, 내부 △ APQ 가 목표.
그림이 나오면 모서리마다 직각삼각형이 한 개씩 자리잡고, 우리가 둘레를 구해야 하는 내부 삼각형도 분명해집니다.
4.G.A.2Draw A Diagram변 30인 삼각형 찾기
쪼개기 1: 직각변 30. 삼조 중 다른 변이 ≤ 28 인 것은 (16, 30, 34) 뿐 — BP = 16, AP = 34.
피타고라스 삼조는 짧고 외우기 쉬운 목록. (8,15,17)을 2 배 하면 30을 직각변으로 만드는 유일한 방식이 나옵니다.
알려진 직각삼각형의 세 수를 키우면 그 어느 변이든 필요한 길이로 맞출 수 있다.
▸ 왜?
그 직각이 있으면 두 변의 제곱을 더한 것이 가장 긴 변의 제곱이 되며, 그 세 수가 그것을 만족한다.
▸ 왜?
하나의 배율이 모든 변을 함께 늘리므로, 모양과 그 관계가 지켜진다.
변 28인 삼각형 찾기
쪼개기 2: 직각변 28. DQ 가 30 미만인 것은 (21, 28, 35) 뿐 — DQ = 21, AQ = 35.
가장 유명한 (3,4,5)를 7 배 하면 28이 직각변으로 정확히 떨어지고, 그 배수에서 다른 직각변도 ≤ 30으로 들어맞습니다.
8.G.B.7Make A Systematic List셋째 삼각형 구하기
쪼개기 3: PC = 12, CQ = 9는 자동 결정. 9² + 12² = 15² 이므로 PQ = 15 — 세 번째 삼각형도 정수.
앞 두 삼각형이 정해지면 세 번째도 자동. PQ 까지 정수로 떨어지는 것이 이 퍼즐의 표식 — 모서리 삼조를 옳게 골랐을 때만 가능합니다.
8.G.B.7Identify Subproblems세 변 더하기
세 빗변을 더하기: AP + AQ + PQ = 34 + 35 + 15.
세 빗변이 손에 들어오면 둘레는 한 줄 덧셈으로 끝.
4.NBT.B.4Identify Subproblems직사각형의 세 모서리에 붙은 직각삼각형은 결국 피타고라스 삼조 세 개. 직각변이 30 인 삼조와 28 인 삼조의 짧은 목록을 훑으면 (16, 30, 34)와 (21, 28, 35)만 들어맞고, 세 번째 삼각형 (9, 12, 15)는 자동으로 결정됩니다. 세 빗변을 더하면 (A) 84.
- 직사각형 그리고 표시하기
- 변 30인 삼각형 찾기
- 변 28인 삼각형 찾기
- 셋째 삼각형 구하기
- 세 변 더하기
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