경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2023A · #20

학년 7 geometry-2d
combinations-basicsystematic-enumerationpermutations-basic identify-subproblemscaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
3 × 3 격자의 각 칸을 네 가지 색(빨강 R, 흰색 W, 파랑 B, 초록 G) 중 하나로 칠하되, 모든 2 × 2 부분 격자가 네 색을 한 번씩 모두 포함해야 합니다. 가능한 색칠의 수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
24
(B)
48
(C)
60
(D)
72
(E)
96

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

두 단계 구조가 자연스럽게 보입니다(도구 #7 작은 문제로 쪼개기): (i) 왼쪽 위 2 × 2 블록을 4! = 24 가지로 색칠, (ii) 세 번째 행과 세 번째 열을 네 2 × 2 블록 조건을 모두 만족하도록 채우는 방법 수. 24 개의 초기 색칠은 대칭이라 하나(예: 시계방향 R-W-B-G)를 고정해 세고 마지막에 곱합니다. 완성 단계에서 오른쪽 열과 아래 행 각각 "국소" 선택이 두 가지씩이라 총 네 조합을 검사(도구 #2 빠짐없이 나열하기). 도구 #1(그림 그리기)로 격자를 그려 의존성을 추적.

1STEP 1

격자와 블록 그리기

3 × 3 격자에 겹치는 네 2 × 2 블록을 표시하면 중앙 칸이 네 블록 모두에 속해 가장 제약됩니다.

4 개의 겹치는 2 × 2 블록, 중앙 C₂₂ 공유
2STEP 2

왼쪽 위 색칠 세기

모든 2 × 2 블록은 네 색의 순열이므로 왼쪽 위 블록은 4! = 24 가지; 하나를 고정하고 나중에 곱합니다.

#{C₁₁, C₁₂, C₂₁, C₂₂} = 4! = 24
3STEP 3

대표 색칠 하나 고정하기

대표로 왼쪽 위에 R, W, B, G 를 고정하면, 오른쪽 열과 아래 행이 각각 두 색이 정해진 2 × 2 블록에 놓입니다.

R & W & ? ; B & G & ? ; ? & ? & ? ;
4STEP 4

남은 칸 채우기

오른쪽 위 블록엔 {R, B}, 왼쪽 아래엔 {R, W}가 각각 두 순서로 — 국소 4 선택, 오른쪽 아래 블록으로 걸러야 함.

(C₁₃, C₂₃) ∈ {(R,B), (B,R)}, (C₃₁, C₃₂) ∈ {(R,W), (W,R)}
5STEP 5

네 가지 조합 나열하기

두 이진 선택의 4 조합을 모두 나열하고, 각각을 오른쪽 아래 블록으로 검사해 C₃₃이 가능한지 확인합니다.

4 조합 → 유효한 것 세기
6STEP 6

각 경우 확인하기

세 조합은 오른쪽 아래 블록에 서로 다른 세 색을 남겨 C₃₃이 정해지고, 넷째는 R 이 겹쳐 탈락 — 유효 3.

4 중 유효 완성 3 가지
7STEP 7

두 단계 곱하기

단계를 곱합니다: 왼쪽 위 24 × 완성 3 = 72, 즉 (D).

24 × 3 = 72 → (D) 72
정답
72
점검: smallmatrix R & W & R ; B & G & B ; R & W & R smallmatrix 처럼 행이 반복되는 색칠은 왼쪽 위·오른쪽 위·왼쪽 아래·오른쪽 아래 블록 모두 {R, W, B, G} — 유효. 조건이 "모든 행이 주기 2로 반복되는 두 색 패턴"(열도 마찬가지)을 강제하므로 왼쪽 위 2 × 2가 전체 패턴을 거의 결정하고, 남은 자유도가 바로 위에서 세어진 3 가지 완성. 24 × 3 = 72는 (D)와 일치하고 (B) 48과 (E) 96 사이에 자연스레 자리합니다.
💡핵심 정리

왼쪽 위 2 × 2 블록을 4! = 24 가지로 색칠할 수 있습니다. 각 색칠마다 오른쪽 열과 아래 행에 각각 두 이진 선택이 있지만, 결합한 네 조합 중 오른쪽 아래 2 × 2를 살리는 것은 3 가지. 곱하면 24 × 3 = (D) 72.

  • 격자와 블록 그리기
  • 왼쪽 위 색칠 세기
  • 대표 색칠 하나 고정하기
  • 남은 칸 채우기
  • 네 가지 조합 나열하기
  • 각 경우 확인하기
  • 두 단계 곱하기

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