AMC 10 · 2023 · #23

학년 8 arithmetic

factorsdivisibility-rulesdigit-sumdifference-of-squares convert-to-algebraidentify-subproblemssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: factorsdivisibility-rules

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

양의 정수 N 이 두 가지 약수쌍 N=ab 를 가집니다. 한 쌍은 두 약수의 차가 20, 다른 한 쌍은 차가 23. N 의 자릿수의 합을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

하나의 미지수 N 에 대한 약수쌍 조건 두 개 — 도구 #13(대수로 바꾸기)이 정공법입니다. N=a(a+20)=b(b+23) 로 두 식을 같게 둡니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 대수 처리를 (i) 두 식 같다고 놓기 (ii) 양변을 두 제곱의 차로 정리 (iii) 우변 작은 상수 인수분해 — 의 세 단계로 분해합니다. 마지막에 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 그 작은 상수(129=3· 43)의 양의 약수쌍 두 개만 적어두면, 각각이 작은 연립일차방정식이 되어 풀립니다.

1STEP 1

각 조건을 곱으로: N=a(a+20)=b(b+23), 그래서 a²+20a=b²+23b.

a²+20a=b²+23b

2STEP 2

양변에 4 를 곱하고 각각 완전제곱식으로: (2a+20)² - 400 = (2b+23)² - 529.

(2a+20)² - 400 = (2b+23)² - 529

3STEP 3

두 제곱의 차 꼴로 정리: (2b+23)² - (2a+20)² = 129.

(2b+23)² - (2a+20)² = 129

4STEP 4

X=2b+23, Y=2a+20 으로 두고 두 제곱의 차를 인수분해: (2b-2a+3)(2b+2a+43)=129.

(2b-2a+3)(2b+2a+43)=129

5STEP 5

129=3·43 (둘 다 소수) 의 양의 약수쌍은 1·129 와 3·43 뿐. 2b+2a+43 이 더 크므로 두 연립이 나옵니다.

129 = 1· 129 = 3· 43

6STEP 6

(i) 풀이: a=b+1 이면 4b+45=129, 그래서 b=21, a=22, N=22·42=21·44=924.

b=21, a=22, N=22· 42=21· 44=924

7STEP 7

(ii) 는 a=0 을 강제 — 양의 약수가 아니라 기각. 유일한 값은 N=924.

a=0 기각; N=924 만 유효

8STEP 8

N=924 의 자릿수의 합을 계산: 9+2+4=15, 선택지 (C).

9+2+4=15 → (C)

정답

N=924 의 약수쌍을 직접 확인. 924=21· 44 (44-21=23 ✓) 그리고 924=22· 42 (42-22=20 ✓). 두 차이 모두 약수쌍 안에 등장합니다. 인수분해 924=2²· 3· 7· 11 의 약수 개수가 (2+1)(1+1)(1+1)(1+1)=24 개라 약수쌍이 많고, 두 차이 모두 그 안에 들어 있는 게 자연스럽습니다. 자릿수의 합 9+2+4=15 는 선택지 (C) 와 정확히 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 8학년 대수만 있으면 풀려요 — 두 조건을 N=a(a+20)=b(b+23) 로 적어 두 제곱의 차로 정리하면 우변이 129, 그 약수쌍만 나열하면 유일한 양의 정수 해가 N=924 라 자릿수의 합은 15.