경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2023A · #25

학년 7 probability
probability-basicspatial-visualizationpolyhedron-netssymmetry-argument complementary-countingcaseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basicspatial-visualization
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
정이십면체(정삼각형 면 20 개, 꼭짓점 12 개)에서 거리 d(A,B)를 "A 에서 B 로 가는 경로상 최소 모서리 수" 로 정의합니다. 서로 다른 세 꼭짓점 Q, R, S 를 무작위로 뽑을 때 d(Q, R) ＞ d(R, S) 일 확률을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{7}{22}$
(B)
$\frac{1}{3}$
(C)
$\frac{3}{8}$
(D)
$\frac{5}{12}$
(E)
$\frac{1}{2}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 관점 바꾸기

d(Q,R) ＞ d(R,S) 인 경우를 직접 세려면 Q, S 의 세 거리 값을 모두 경우 분석해야 합니다. 도구 #16(관점 바꾸기)가 영리한 수: 대칭으로 P( ＞ ) = P( ＜ ), 그래서 1 = P( ＞ ) + P( ＜ ) + P(=) = 2 P( ＞ ) + P(=). P(=)만 구하면 끝. 도구 #10(직접 만져보기) — 정이십면체 모형을 시각화 — 로 꼭짓점 거리 분포 (5, 5, 1)를 읽어내고, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 d(R,Q)=d(R,S) 인 순서쌍 (Q, S)를 거리 값별로 합산합니다.

1STEP 1

꼭짓점을 거리별로 나누기

대칭으로 아무 꼭짓점 R 을 고정하면 나머지 11 개는 거리 1:5, 거리 2:5, 거리 3:1 로 나뉩니다.

R 에서: 5 개가 d=1, 5 개가 d=2, 1 개가 d=3
2STEP 2

맞바꿈 대칭 이용하기

Q 와 S 는 대칭이라 P( ＞ ) = P( ＜ ), 세 경우의 합이 1 이므로 P( ＞ ) = 1−P(=)2\frac{1 - P(=)}{2}.

P( ＞ ) = (1 - P(=))/2
3STEP 3

순서쌍 전체 세기

R 이 아니고 서로 다른 순서쌍 (Q, S)를 셉니다: 11 곱하기 10 = 110 쌍.

11 × 10 = 110
4STEP 4

거리가 같은 쌍 세기

공통 거리별 같은 거리 쌍: d=1은 5 × 4 = 20, d=2도 20, d=3은 0 — 합 40.

#{(Q,S): d(R,Q)=d(R,S)} = 20 + 20 + 0 = 40
5STEP 5

확률 계산하기

P(=) = 40110\frac{40}{110} = 411\frac{4}{11} 을 대입하면 P( ＞ ) = (1 - 411\frac{4}{11})/2 = 722\frac{7}{22}, 선택지 (A).

P( ＞ ) = (1 - 4/11)/2 = 7/22 → (A)
정답
7/22
수치 점검. P( ＞ ) = 722\frac{7}{22} ≈ 0.318, 13\frac{1}{3} 바로 아래로 적절한 범위입니다. 만약 11 · 10 = 110 쌍이 ＞ , ＜ , = 셋으로 정확히 삼등분되면 각 13\frac{1}{3} 이지만, P(=) = 411\frac{4}{11} ≈ 0.364가 13\frac{1}{3} 보다 살짝 크므로 P( ＞ )는 13\frac{1}{3} 보다 살짝 작아 722\frac{7}{22}. 거리 분포 (5, 5, 1)은 R 제외 11 개 꼭짓점 전체를 정확히 덮고, 같은 거리 쌍 40 개는 단일 대척점 경우를 제대로 제외. 722\frac{7}{22} 는 선택지에 정확히 있습니다.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 이미 배운 7학년 확률만 있으면 풀려요 — 정이십면체를 머릿속에 그려 한 꼭짓점에서 나머지 11 개가 5+5+1로 분포함을 보고, 대칭으로 P( ＞ ) = 1−P(=)2\frac{1 - P(=)}{2}. 110 쌍 중 같은 거리 40 쌍이라 722\frac{7}{22}.

  • 꼭짓점을 거리별로 나누기
  • 맞바꿈 대칭 이용하기
  • 순서쌍 전체 세기
  • 거리가 같은 쌍 세기
  • 확률 계산하기

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