경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2023A · #3
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
5 ∣ k²이 5 ∣ k 를 강제한다는 것(5가 소수이기 때문)을 알아챈 순간, 조건을 만족하는 제곱수는 정확히 5², 10², 15², … — k 에 대해 깔끔한 규칙적 패턴이 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)가 틀을 잡습니다 — k = 5m 으로 두면 조건은 25 m² ＜ 2023. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 마무리 — m = 1, 2, 3, … 을 차례로 적어 경계를 넘는 첫 m 에서 멈추면 됩니다. 대수(#13)는 더 무겁고, 2023 미만 제곱수 44 개를 전부 검사하는 것은 낭비 — 패턴 + 나열 조합이 가장 자연스럽습니다.
소인수 5 뽑아내기
제곱수의 소인수 지수는 모두 짝수라, 5가 k²을 나누면 k 도 나눔 — k 는 5의 배수.
제곱수를 소인수로 들여다보면 "제곱을 나누는 소수는 이미 밑(base)을 나눈다" — 6학년 "자연수 지수가 들어간 식" 표준 그대로.
완전제곱수를 나누는 소수는 이미 제곱되기 전의 수도 나누었어야 한다.
▸ 왜?
모든 수의 소인수 조리법은 하나뿐이므로, 제곱은 이미 있던 횟수를 두 배로 할 뿐이다.
▸ 왜?
지수는 인수를 몇 번 쓰는지를 세며, 두 배로 한다고 새 소수가 나타나지는 않는다.
k를 5m으로 바꾸기
k = 5m 로 두면 N = 25m²; 조건 N ＜ 2023은 m² ＜ = 80.92 로 바뀜.
k 를 5m 으로 다시 이름 지으면 "k 가 5의 배수" 라는 패턴이 m 만 들어간 6학년 식으로 바뀌고, 나눗셈 조건은 사라집니다.
6.EE.B.6Look For A Pattern제곱수 차례로 나열하기
제곱 1², 2², 3², … 을 순서대로 적다가 경계 80.92를 넘는 순간 멈춤.
1²부터 9² 까지를 외워 두는 것은 3학년 곱셈 유창성 표준 — 리스트가 저절로 만들어집니다.
3.OA.C.7Make A Systematic List경계값과 비교하기
8² = 64는 경계 아래지만 9² = 81은 초과, 그래서 m 은 1부터 8까지 — 여덟 개, (A).
m 하나마다 허용되는 k = 5m 이 하나, 따라서 완전제곱수 25 m²도 하나 — 유효 m 을 세는 것이 곧 N 을 세는 것. 4학년 배수 세기 수준의 일.
4.OA.B.4Make A Systematic List이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "제곱 안의 5는 밑에도 5가 있다" 사고만 알면 풀 수 있어요 — 5, 10, …, 40의 제곱, 딱 여덟 개!
- 소인수 5 뽑아내기
- k를 5m으로 바꾸기
- 제곱수 차례로 나열하기
- 경계값과 비교하기
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