AMC 10 · 2023 · #11

학년 6 arithmetic

linear-diophantinesystematic-enumerationlinear-equations-two-varbound-inequality-then-enumerate systematic-enumerationcaseworkbound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: linear-equations-two-varsystematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

수잔이 은행에서 800 을 인출했고, 창구 직원이 20, 50, 100 짜리 지폐만으로 (각 종류마다 최소 한 장씩 포함해서) 그 금액을 건넸습니다. 받을 수 있는 지폐 묶음(각 종류 지폐의 장수 조합)이 몇 가지인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 자연스러운 선택입니다 — 문제 자체가 "몇 가지" 를 묻고 있으니 정리된 셈이 필요합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 식 전체를 10 으로 나누면 20x + 50y + 100z = 800 이 2x + 5y + 10z = 80 으로 작아져 다루기 쉬워집니다. 21 가지를 일일이 나열하지 않도록 도구 #5(패턴 찾기) 가 도움이 됩니다: z 를 고정할 때마다 (x, y) 쌍의 개수가 등차수열로 줄어들고, 그 합이 답입니다.

1STEP 1

20x + 50y + 100z = 800 의 양변을 10 으로 나눠 같은 해를 더 작은 수로 만듭니다.

2x + 5y + 10z = 80, x, y, z ≥ 1

2STEP 2

z(100 지폐 장수)를 고정하면 2x + 5y = 80 - 10z 이고, y 는 짝수여야 합니다.

z 고정 → 2x + 5y = 80 - 10z, x ≥ 1, y ≥ 1, y 짝수

3STEP 3

각 z 에서 y = 2b, x = 5(8 - z - b) 이므로 유효한 쌍은 7 - z 개입니다.

z 고정 시 쌍의 개수: max(7 - z, 0)

4STEP 4

z = 1~6 의 개수를 더하면 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21.

6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21

5STEP 5

21 은 선택지 (B); 45, 36, 28, 32 는 자연스러운 오답 계산과 맞지 않습니다.

답 = 21 → (B)

정답

경계 사례 점검. z = 1 (100 한 장) 일 때 남은 700 을 20 과 50 으로 (각 최소 한 장) 만드는 경우: 20x + 50y = 700, x, y ≥ 1. 짝수 y ∈ {2, 4, 6, 8, 10, 12} 로 6 가지 — 공식 7 - 1 = 6 과 일치. z = 6 (100 여섯 장, 200 남음) 점검: 20x + 50y = 200, y ∈ {2}, x = 5, 1 가지 — 7 - 6 = 1 과 일치. 총 21 은 "세 종류, 800" 라는 설정에 비추어 자연스러운 크기.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "동치식과 변수" 만 알면 풀 수 있어요 — 금액을 10 으로 나누고 100 지폐 장수를 하나씩 고정해 보면 각 경우가 작은 셈으로 줄어들고, 그 합이 21 입니다.