AMC 10 · 2023 · #12

학년 8 algebra
polynomial-rootssign-analysisparitypattern-recognition sign-analysispattern-recognitioncasework ↑ 선수 지식: polynomial-rootsparity
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
다항식 P(x) = (x-1)¹ (x-2)² (x-3)³ … (x-10)¹⁰ 는 1, 2, …, 10 에서 근을 가지며 각 근의 중복도는 지수와 같습니다. 수직선에서 이 10 개 점을 지우면 11 개의 열린 구간이 남습니다. 그 중 P(x) ＞ 0 인 구간이 몇 개인지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
~3
(B)
~7
(C)
~6
(D)
~4
(E)
~5

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기): P(x) 의 부호는 10 개 근이 표시된 수직선 위에서 자연스럽게 살아 — 수직선을 그리고 각 구간 위에 "+" 나 "-" 를 적으면 됩니다. 도구 #5(패턴 찾기) 가 핵심 지름길을 잡습니다: (x-k)^k 가 x = k 에서 전체 부호를 뒤집는 것은 지수 k 가 홀수일 때뿐이고, 짝수 지수는 음수가 될 수 없습니다. 따라서 부호 변화는 홀수-지수 근에서만 일어납니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 는 오른쪽 끝(P(x) ＞ 0 자명) 부터 왼쪽으로 11 개 구간을 차례로 표시합니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) 는 검증용: P₃(x) = (x-1)(x-2)²(x-3)³ 으로 먼저 규칙 확인 후 10 개 근에 적용.

1STEP 1

수직선에 근 1–10 을 점으로 찍으면 11 개의 열린 구간이 생기고, 각 구간에 P(x) 의 부호를 적습니다.

구간: (-∞,1),(1,2),(2,3),…,(9,10),(10,∞)
2STEP 2

짝수 지수는 (x−k)^k 를 절대 음수로 만들지 못하므로, 곱의 부호를 바꿀 수 있는 것은 홀수 지수 인수뿐입니다.

k 짝수: (x-k)^k ＞ 0 (x ≠ k). k 홀수: (x-k)^k 의 부호 = (x-k) 의 부호
3STEP 3

지수의 홀짝으로 근을 나누면, 부호는 홀수 근 1, 3, 5, 7, 9 에서만 뒤집히고 나머지 짝수 근에서는 그대로입니다.

뒤집힘: 1, 3, 5, 7, 9; 그대로: 2, 4, 6, 8, 10
4STEP 4

맨 오른쪽 구간을 기준으로 잡습니다: x ＞ 10 이면 모든 인수가 양수라 (10, ∞) 에서 P(x) ＞ 0; 이제 왼쪽으로 훑습니다.

기준: P(x) ＞ 0 on (10, ∞)
5STEP 5

오른쪽에서 왼쪽으로 가며 홀수 근에서만 뒤집는 규칙을 적용해 각 구간 위에 + 또는 − 를 적습니다.

(10,∞){:}+ | 10:유지 | (9,10){:}+ | 9:뒤집 | (8,9){:}- | 8:유지 | (7,8){:}- | 7:뒤집 | (6,7){:}+ | 6:유지 | (5,6){:}+ | 5:뒤집 | (4,5){:}- | 4:유지 | (3,4){:}- | 3:뒤집 | (2,3){:}+ | 2:유지 | (1,2){:}+ | 1:뒤집 | (-∞,1){:}-
6STEP 6

구간 (1, 2), (2, 3), (5, 6), (6, 7), (9, 10), (10, ∞) 이 양수 — 모두 6 개, 선택지 (C).

#{양수 구간} = 6 → (C)
정답
~6
교대 패턴 점검. 왼쪽 끝 (-∞, 1) 부터 시작해 오른쪽으로 가면서 부호를 적으면 - → + → + → - → - → + → + → - → - → + → + (1, 3, 5, 7, 9 에서만 뒤집힘, 나머지는 유지). "+" 개수 = 6 으로 같은 결과. 표본점 검증: x = 1.5 에서 (0.5)¹ ＞ 0, (-0.5)² ＞ 0, (-1.5)³ ＜ 0, (-2.5)⁵ ＜ 0, (-3.5)⁷ ＜ 0, (-4.5)⁹ ＜ 0 — 음수 인수 4 개 (짝수 개) × 양수 인수 들 = P(1.5) ＞ 0. (1, 2) 가 양수인 결과와 일치.
💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 8학년 "짝수 제곱은 음수가 아니다" 만 알면 풀 수 있어요 — 그 법칙 하나로 홀수 지수 근 (1, 3, 5, 7, 9) 만 부호를 뒤집고, 수직선을 오른쪽에서 왼쪽으로 훑으면 양수 구간이 정확히 6 개.