경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2023B · #17

학년 8 geometry-3d
space-diagonal-formulasystems-of-equationssurface-areavolume-rectangular-prismvieta-formulas identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: systems-of-equationssurface-area
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
서로 다른 모서리 길이 a, b, c 를 갖는 직육면체에서, 모서리 12 개의 길이 합은 13, 면 6 개의 넓이 합은 112\frac{11}{2}, 부피는 12\frac{1}{2} 입니다. 가장 긴 내부 대각선(공간 대각선)의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2
(B)
$\frac{3}{8}$
(C)
$\frac{9}{8}$
(D)
$\frac{9}{4}$
(E)
$\frac{3}{2}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

개별 모서리 값은 필요 없고 대칭합 s₁=a+b+c, s₂=ab+bc+ca 만 있으면 됩니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)가 세 계단으로 분리: (a) 주어진 총합에서 s₁, s₂ 읽기, (b) (s₁)² = a²+b²+c² + 2s₂ 항등식으로 제곱합 구하기, (c) 피타고라스 정리의 3 차원 확장으로 공간 대각선 길이 산출. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 항등식 처리, 도구 #8(단위 살펴보기)가 결과가 길이임을 확인.

1STEP 1

두 대칭식 값 읽어내기

총합에서 두 대칭합을 읽어요: 4(a+b+c)=13 이니 a+b+c=134\frac{13}{4}, 여섯 면에서 2(ab+bc+ca)=112\frac{11}{2}.

a+b+c=13/4, 2(ab+bc+ca)=11/2
2STEP 2

합의 제곱 항등식 쓰기

항등식 (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)로 a²+b²+c² = 8116\frac{81}{16}; 부피 12\frac{1}{2} 는 미끼.

a²+b²+c² = (a+b+c)² - 2(ab+bc+ca) = (13/4)² - 11/2 = 169/16 - 88/16 = 81/16
3STEP 3

대각선 길이 구하기

공간 대각선은 3 차원 피타고라스 정리로 d=√(a²+b²+c²); 8116\frac{81}{16} 을 넣으면 d=√(8116\frac{81}{16})=94\frac{9}{4}.

d = √(81/16) = 9/4 → (D) 9/4
4STEP 4

단위 확인하기

단위 확인: (a+b+c)²와 2(ab+bc+ca)는 모두 넓이라 그 차이도 넓이, 제곱근을 씌우면 다시 길이 — 대각선의 단위와 일치.

[길이]² - [길이]² = [길이]², √([길이]²) = [길이]
정답
9/4
크기 점검: a+b+c = 3.25, 각 모서리가 대략 1 정도라면 공간 대각선은 한 모서리보다는 길고 a+b+c 보다는 짧아야 함. 답 94\frac{9}{4}=2.25는 ∼ 1과 3.25 사이에 깔끔히 들어옴. 또 (94\frac{9}{4})² = 8116\frac{81}{16} 이 우리 중간값과 정확히 일치. 부피 abc=12\frac{1}{2} 는 한 번도 쓰이지 않았는데, 대각선이 s₁, s₂ 만으로 결정되니 당연.
💡핵심 정리

개별 모서리 a, b, c 를 풀 필요가 없어요. 총합에서 a+b+c=134\frac{13}{4} 와 2(ab+bc+ca)=112\frac{11}{2} 를 읽고, 항등식 (a+b+c)² = a²+b²+c² + 2(ab+bc+ca)가 a²+b²+c² = 8116\frac{81}{16} 을 줍니다. 공간 대각선은 √(8116\frac{81}{16}) = (D) 94\frac{9}{4} — 부피는 미끼 정보였습니다.

  • 두 대칭식 값 읽어내기
  • 합의 제곱 항등식 쓰기
  • 대각선 길이 구하기
  • 단위 확인하기

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