경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 10 · 2023B · #18
학년 8 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
세 개의 독립적인 참/거짓 질문이 한 문제 — 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 전형. 먼저 양변에 210을 곱해 c = 15a + 14b 로 정리한 뒤 각 명제를 따로 검증합니다. 도구 #3(가능성 지우기)으로 반례 하나면 I 을 죽이고, 도구 #13(대수로 바꾸기) — 특히 mod 2, 3, 5, 7 환산 — 으로 III 을 양방향 증명. II 는 "and → or" 라는 논리로 자동 따라옴.
분모 없애기
분모 소거: 14, 15, 210의 최소공배수는 210, 양변에 곱하면 c = 15a + 14b.
c = 15a + 14b 가 분수보다 다루기 훨씬 쉬움 — 15 = 3 · 5, 14 = 2 · 7의 서로소 분리가 소수별로 깔끔히 갈리리라는 신호.
6.NS.B.4Convert To Algebra반례로 명제 I 깨기
I 의 반례: a=1 (gcd(a,14)=1), b=3이면 c=57=3·19, gcd(57,210)=3≠1 — 명제 I 은 거짓.
보편 명제는 반례 하나면 끝 — a 로 가정을 채우고, b 로 c 에 금지된 소수를 슬쩍 끼워 넣음.
잘 고른 예 하나면 언제나라고 말하는 주장을 무너뜨리기에 충분하다.
▸ 왜?
주장이 어긋나는 경우 하나면 그 문제가 영영 정해진다.
▸ 왜?
그 예가 통하는 까닭은 양쪽의 소수를 서로 따로 고를 수 있기 때문이다.
명제 III 정방향 증명하기
III 정방향: 두 gcd 가 1이면 c=15a+14b 가 소수 2,3,5,7 어느 것도 안 나눠떨어져 gcd(c,210)=1.
c = 15a + 14b 를 각 소수로 환산하면 두 항 중 하나가 사라져 한 변수만 보면 됨 — 케이스마다 한 줄 점검.
8.EE.C.7Identify Subproblems명제 III 역방향 증명하기
III 역방향: 항등식으로 gcd(c,14)=gcd(a,14), gcd(c,15)=gcd(b,15) — c 가 210과 서로소면 둘 다 1.
14b 항은 mod 14 에서 0, 15 ≡ 1 (mod 14) 이므로 gcd(c, 14) = gcd(a, 14) — 반대편도 같은 요령.
6.NS.B.4Identify Subproblems명제 II 정리하기
명제 II 는 약한 '또는' 만 요구 — III 의 역방향 '그리고' 가 이미 줌. 그래서 II 도 참, I 은 거짓이니 II 와 III.
논리에서 "and" 가 "or" 보다 강함 — 어려운 "and" 를 III 으로 증명했으니 약한 "or" 인 II 는 덤.
6.NS.B.4Eliminate Possibilities양변에 210을 곱하면 c = 15a + 14b. 각 소수 2, 3, 5, 7에 대해 mod 환산하면 두 항 중 하나가 사라지므로 gcd(c, 210) = 1은 gcd(a, 14) = gcd(b, 15) = 1과 동치 (명제 III). 그 "and" 가 II 의 "or" 를 자동으로 함의하지만, I 은 a = 1, b = 3 에서 c = 57 (3의 배수)로 깨짐. 답: (E) II 와 III 만.
- 분모 없애기
- 반례로 명제 I 깨기
- 명제 III 정방향 증명하기
- 명제 III 역방향 증명하기
- 명제 II 정리하기
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