AMC 10 · 2023 · #19

학년 7 geometry-2d
geometric-probabilityarea-rectanglessymmetry-argumentprobability-basic easier-related-problemidentify-subproblemssymmetry-argument ↑ 선수 지식: geometric-probabilityarea-rectangles
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
개구리 Sonya 가 정사각형 [0, 6] × [0, 6] 위에서 균등분포로 점 (X, Y) 를 고른 뒤, 거리 D 를 [0, 1] 에서 균등분포로, 방향을 N, S, E, W 중 균등하게 고르고 그 방향으로 D 만큼 뜁니다. 도착지가 정사각형 밖일 확률을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$frac{1}{6}$
(B)
$frac{1}{12}$
(C)
$frac{1}{4}$
(D)
$frac{1}{10}$
(E)
$frac{1}{9}$

AMC 10 2023 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

네 방향을 한꺼번에 계산하면 지저분하지만 대칭이 간단히 줄여 줍니다. 도구 #9(더 쉬운 문제) — 북쪽 한 방향의 조건부 확률만 구한 뒤 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 과 전 확률 법칙으로 전체 확률을 회복. 도구 #1(그림 그리기) 이 결정적: (Y, D) 직사각형을 그리고 Y + D ＞ 6 을 칠하면 작은 직각삼각형 — 넓이를 눈으로 읽으면 끝.

1STEP 1

90° 대칭이라 네 방향의 p 가 모두 같아 전 확률 법칙으로 P(out) = 14\frac{1}{4}(p + p + p + p) = p.

P(out) = Σ_dir 14\frac{1}{4} P(out ∣ dir) = p
2STEP 2

북쪽 점프 → (X, Y + D); X 는 [0, 6] 그대로라 탈출 조건은 Y + D ＞ 6, Y ∼ U[0, 6], D ∼ U[0, 1].

p = P(Y + D ＞ 6), Y ∼ U[0, 6], D ∼ U[0, 1]
3STEP 3

6 × 1 (Y, D) 직사각형에서 Y + D ＞ 6 영역은 두 변이 1 인 직각삼각형, 넓이 12\frac{1}{2}.

삼각형 넓이 = 12\frac{1}{2} · 1 · 1 = 12\frac{1}{2}
4STEP 4

확률 = 넓이 비 = (12\frac{1}{2})/6 = 112\frac{1}{12}, 1 단계에서 P(out) = 112\frac{1}{12}.

P(out) = (12\frac{1}{2})/6 = 112\frac{1}{12} → (B) 112\frac{1}{12}
정답
112\frac{1}{12}
크기 점검: 위험 띠는 각 변에서 폭 1 단위 (D ≤ 1). 띠의 총 넓이는 최대 4 · (6 · 1) = 2436\frac{24}{36} 인데, 탈출하려면 띠에 있고 D 도 충분히 커야 하므로 훨씬 작아짐. 답 112\frac{1}{12} ≈ 0.083 은 그럴듯 — 작지만 미미하지 않음. 삼각형 확인: (5,1), (6,1), (6,0) 의 두 변 길이 1, 넓이 12\frac{1}{2}. 비율 (12\frac{1}{2})/6 = 112\frac{1}{12} — 선택지 (B) 와 일치.
💡핵심 정리

회전 대칭에 의해 전체 탈출 확률은 임의의 한 방향 (예: 북쪽) 조건부 확률과 같습니다. 북쪽 점프에서는 y 좌표만 문제가 되므로 (Y, D) 의 6 × 1 직사각형 위에서 Y + D ＞ 6 영역을 그리면 두 변이 1 인 직각삼각형 (넓이 12\frac{1}{2}) 이 나옵니다. 전체 넓이 6 으로 나누면 (B) 112\frac{1}{12}.