AMC 10 · 2024 · #10

학년 6 number-theoryarithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

pattern-recognitionmodular-arithmeticrecursive-sequencedivisibility-rules pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

n = 100 에서 시작합니다. 다음 규칙을 반복합니다: n 이 3 의 배수이면 n/3 으로 바꾸고, 아니면 n + 10 으로 바꿉니다. 이 연산을 정확히 100 번 수행한 뒤의 n 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

결정적 규칙을 작은 양의 정수에서 100 번 반복하는 상황은 도구 #5(패턴 찾기)의 전형적 무대입니다. 한 번이라도 값이 다시 나타나면 그 뒤는 통째로 반복 주기가 되어, 100 단계를 끝까지 할 필요가 없어집니다. 주기를 드러내는 자연스러운 방법이 도구 #2(정리된 목록 만들기) — 앞쪽 몇 항을 차례대로 적고 어떤 값이 다시 등장하는지 지켜봅니다. 주기 길이만 알면 100 번째 항의 위치는 나머지 계산 한 번으로 끝납니다.

1STEP 1

100 부터 항을 차례로 적으며 매 단계 규칙을 적용합니다 — 3 의 배수 판정은 자릿수 합으로 빠르게 처리합니다.

100 → 110 → 120 → 40 → 50 → 60 → 20 → 30 → 10 → 20

2STEP 2

값 20 이 6 단계와 9 단계 후 다시 나오므로, 6 단계부터 수열은 20 → 30 → 10 을 도는 길이 3 의 주기에 갇힙니다.

n₀, n₁, …, n₅_도입부, n₆ = 20, n₇ = 30, n₈ = 10, n₉ = 20, …_길이 3 주기

3STEP 3

주기 진입점인 6 단계 기준으로, 100 단계의 위치는 (100 - 6) mod 3 = 94 mod 3 = 1 입니다.

100 - 6 = 94, 94 = 3 × 31 + 1 → 94 mod 3 = 1

4STEP 4

위치 0 은 20, 위치 1 은 30, 위치 2 는 10; 단계 100 은 위치 1 이므로 답은 30.

n₁00 = 주기[1] = 30 → (C)

정답

n₆ = 20 에서 몇 단계 직접 세어 다시 확인합시다. n₇ = 30, n₈ = 10, n₉ = 20 (길이 3 짜리 한 바퀴). 따라서 모든 자연수 k 에 대해 n₆ + 3k = 20. k = 31 을 넣으면 6 + 3 × 31 = 99 이므로 n₉9 = 20. 한 단계만 더: 20 은 3 의 배수가 아니므로 n₁00 = 20 + 10 = 30. 답 (C) 와 나머지 논증 모두와 일치합니다. 또한 주기 안의 값이 {10, 20, 30} 으로 모두 선택지에 들어 있다는 점도 답이 (A), (B), (C) 중 하나라는 힌트가 됩니다.

💡핵심 정리

결정적 규칙을 여러 번 돌릴 때는 앞쪽 몇 항을 나열해 반복이 일어나는지 살펴보세요 — 주기를 찾고 나면 나머지 계산 한 번으로 100 번째 단계까지 단숨에 건너뜁니다.

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