AMC 10 · 2024 · #21

학년 8 algebra

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Lattice Constraint Analysis

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📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정수로 이루어진 5 × 5 표에서 모든 행과 모든 열이 등차수열(AP)을 이룹니다. 네 칸이 고정되어 있습니다: A₅,5 = 0, A₂,4 = 48, A₄,3 = 16, A₃,1 = 12. A₁,2 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 대수로 바꾸기

표에는 25 개의 칸이 있지만, 한 모서리를 고정하면 단 두 개의 "자유로운 수" 가 모든 것을 결정합니다. A₅,5 = 0 에 닻을 내리고, 5 열의 위로 향하는 공차를 a, 5 행의 왼쪽으로 향하는 공차를 b 라 합시다. 이것만으로 도구 #13(대수로 바꾸기)을 써서 맨 아래 행과 맨 오른쪽 열의 모든 칸이 a 와 b 의 배수로 표시됩니다. 도구 #5(패턴 찾기)는 다리 역할을 합니다 — 길이 5 인 등차수열에서 가운데 항은 양 끝항의 평균이라는 사실입니다. 이 성질을 3 행(A₃,1 = 12 가 한쪽 끝)과 2 행(A₂,4 = 48 이 양옆 두 항의 평균)에 적용하면 a, b 에 대한 깔끔한 2 × 2 일차연립방정식이 나옵니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 순서를 정해 줍니다: 먼저 a, b 를 구하고, 그 다음 1 행에서 알 수 있는 두 칸으로 1 행의 공차를 구하고, 마지막에 A₁,2 를 읽습니다. 25 개 변수로 정면돌파할 필요 없이 변수 두 개로 충분합니다.

1STEP 1

A₅,5 = 0 에 닻을 내리고 5 열 위쪽 공차를 a, 5 행 왼쪽 공차를 b 라 하면 오른쪽 열·아래 행이 a, b 의 배수가 됩니다.

A_i,5 = (5-i) a, A₅,j = (5-j) b

2STEP 2

3 행은 길이 5 등차수열이라 가운데 A₃,3 은 양 끝 A₃,1 = 12 와 A₃,5 = 2a 의 평균: A₃,3 = 6 + a.

A₃,3 =

\frac{A₃,1 + A₃,5}{2}

\frac{12 + 2a}{2}

= 6 + a

3STEP 3

3 열도 등차수열이고 A₄,3 = 16, A₅,3 = 2b; 위쪽 공차가 16 - 2b 이므로 A₃,3 = 32 - 2b.

d₃열 = 16 - 2b → A₃,3 = 16 + (16 - 2b) = 32 - 2b

4STEP 4

같은 칸을 두 방법으로 적었으니 같아야 함: 6 + a = 32 - 2b, 즉 a + 2b = 26 (식 1).

6 + a = 32 - 2b ⟹ a + 2b = 26 (식 1)

5STEP 5

2 행에서 A₂,4 = 48 은 A₂,3 = 48 - 4b 와 A₂,5 = 3a 의 평균이라 3a - 4b = 48 (식 2).

48 =

\frac{(48 - 4b) + 3a}{2}

⟹ 96 = 48 - 4b + 3a ⟹ 3a - 4b = 48 (식 2)

6STEP 6

b 를 소거: 식 1 을 2 배 해 식 2 와 더하면 5a = 100, 따라서 a = 20, b = 3.

2a + 4b = 52, 3a - 4b = 48 ⟹ 5a = 100 ⟹ a = 20, b = 3

7STEP 7

a, b 를 알았으니 A₁,3 = 46, A₁,5 = 80 이 1 행에서 두 칸 간격이라 공차는 17.

A₁,5 = A₁,3 + 2 d₁행 ⟹ 80 = 46 + 2 d₁행 ⟹ d₁행 = 17

8STEP 8

1 행 안에서 한 칸만 왼쪽으로 옮기면 A₁,2 입니다.

A₁,2 = A₁,3 - d₁행 = 46 - 17 = 29 → (C)

정답

1 행을 통째로 복원해 확인합시다. A₁,3 = 46, d₁행 = 17 이므로 1 행은 12, 29, 46, 63, 80 — 그리고 80 = 4a = A₁,5 와 일치합니다. 2 열도 확인: A₅,2 = 3b = 9, 2 열의 위로 향하는 공차는

\frac{A₁,2 - A₅,2}{4}

\frac{29 - 9}{4}

= 5 이므로 2 열은 아래에서 위로 9, 14, 19, 24, 29. 이때 A₃,2 = 19 가 3 행과도 맞는지 봅시다: 3 행은 A₃,1 = 12, A₃,5 = 2a = 40 이므로 공차

\frac{40 - 12}{4}

= 7, 즉 12, 19, 26, 33, 40. A₃,2 = 19 가 양쪽에서 같게 나오고, 주어진 네 칸이 모두 복원되며, (C) 29 가 유일한 답입니다.

💡핵심 정리

행도 열도 모두 등차수열인 표에서는 한 모서리에 두 문자만 두면 표 전체가 그 문자로 표현됩니다. "중간항은 양 끝의 평균" 으로 주어진 칸들을 2 × 2 연립방정식으로 바꾸고, 마지막에 필요한 행만 채우면 끝입니다.

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