AMC 10 · 2024 · #4

학년 6 arithmetic

유형 Modular Cycle Frequency Count └ 세부 유형 Position-in-Cycle Lookup

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📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1, 2, 3, … 번 공을 통 A, B, C, D, E 에 순환적으로 넣습니다. k 단계에서는 공 k 개를 한 통에 넣고, 통은 1 단계 A, 2 단계 B, …, 5 단계 E, 6 단계 다시 A 순으로 사용합니다. 2024 번 공은 어느 통에 들어갈까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2024 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

두 가지 패턴이 겹쳐 있는 문제입니다. 패턴 1: k 단계까지 누적 공 개수는 삼각수 T_k = $\frac{k(k+1)}{2}$ — 도구 #5(패턴 찾기) 로 k = 1, 2, 3 의 누적 1, 3, 6, 10, … 에서 곧장 보입니다. 패턴 2: k 단계의 통은 k mod 5 에만 달려 있습니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 √(2 · 2024) ≈ 64 부근의 k 를 시험해 빠르게 좁힙니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 작은 k 부터 손으로 더해 삼각수 공식을 얻는 데 씁니다.

1STEP 1

1, 2, 3, … 을 손으로 더하면 누적 1, 3, 6, 10 — 삼각수 T_k = $\frac{k(k+1)}{2}$ 입니다.

T_k = 1 + 2 + … + k =

\frac{k(k+1)}{2}

2STEP 2

$\frac{k(k+1)}{2}$ ≈ 2024 에서 k(k+1) ≈ 4048, k ≈ √4048 ≈ 63.6 — 즉 k 는 63 또는 64.

k(k+1) ≈ 4048 → k ≈ 63 또는 64

3STEP 3

63 단계까지 공 2016 개, 64 단계는 2017 ∼ 2080 번을 담당 — 2024 는 64 단계에 들어갑니다.

T₆3 = 2016, T₆4 = 2080, 2017 ≤ 2024 ≤ 2080

4STEP 4

통은 단계 수를 5 로 나눈 나머지로 정해집니다. 64 = 12 · 5 + 4 이므로 64 ≡ 4 (mod 5).

64 = 12 · 5 + 4 → 64 ≡ 4 (mod 5)

5STEP 5

나머지 1=A, 2=B, 3=C, 4=D, 0=E. 나머지 4 라 64 단계는 통 D, 2024 번 공도 그 통에 들어갑니다.

64 ≡ 4 (mod 5) ⟹ 통 D → (D)

정답

주어진 예로 교차 확인. 문제 본문에 22, 23, …, 28 번 공이 7 단계에서 통 B 에 들어간다고 했습니다. 7 ≡ 2 (mod 5) 라 통은 B — 일치. 그리고 T₆ = 21, T₇ = 28 이라 7 단계는 22 ∼ 28 번 공을 담당 — 이것도 일치. 같은 논리로 T₆4 = 2080 과 64 mod 5 = 4 가 2024 번 공의 통을 D 로 확정해 (D) 와 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 "문자식"(T_k = $\frac{k(k+1)}{2}$ )과 4학년 "나머지"만 알면, 64 단계가 통 D 임을 짚어낼 수 있어요!

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