AMC 10 · 2025 · #1

학년 6 rate-ratio

유형 Meeting Time with Piecewise Rates └ 세부 유형 Constant-Rate Closing Speed

ratedimensional-analysislinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: rate

📏 중간 풀이 💡 1 개 인사이트

문제

앤디와 벳시는 둘 다 매스빌에 산다. 앤디는 $1{:}30$ 에 자전거를 타고 매스빌을 출발해 정북 방향으로 시속 $8$ 마일의 일정한 속력으로 달린다. 벳시는 같은 지점에서 $2{:}30$ 에 자전거를 타고 출발해 정동 방향으로 시속 $12$ 마일의 일정한 속력으로 달린다. 두 사람이 공통의 출발점으로부터 정확히 같은 거리에 있게 되는 시각은 언제인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3{:}30$

(B)

$3{:}45$

(C)

$4{:}00$

(D)

$4{:}15$

(E)

$4{:}30$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 앤디는 $1{:}30$에 출발점을 떠나 북쪽으로 시속 $8$마일로 자전거를 탑니다. 벳시는 $2{:}30$에 같은 지점을 떠나 동쪽으로 시속 $12$마일로 탑니다. 두 사람이 출발점으로부터 같은 거리에 있게 되는 시각을 구하세요.

주어진 것: 앤디는 $1{:}30$에 출발해 북쪽으로 일정한 시속 $8$마일로 이동한다.; 벳시는 $2{:}30$에 같은 지점에서 출발해 동쪽으로 일정한 시속 $12$마일로 이동한다.; 벳시는 앤디보다 정확히 $1$시간 늦게 출발한다.; 보기: (A) $3{:}30$, (B) $3{:}45$, (C) $4{:}00$, (D) $4{:}15$, (E) $4{:}30$.

구하는 것: 두 사람이 출발점에서 같은 거리에 있게 되는 시각.

이해

계획

주요 도구: #8 단위 살펴보기

보조 도구: #16 관점 바꾸기, #4 변수 도입하기

수직 방향이라 피타고라스 정리에 손이 가기 쉽지만, 그것은 두 사람 '사이'의 거리예요. 문제가 묻는 건 각자 출발점'으로부터' 얼마나 멀리 있느냐이고, 각자 직선 하나로만 나아가므로 단위가 모든 걸 말해 줍니다: 마일 $=$ (시속 마일) $\times$ (시간). 이것이 도구 #8 — 단위가 모델을 골라 주게 하는 거죠. 거리가 속력 $\times$ 시간이 되고 나면 도구 #16(관점 바꾸기)이 빠릅니다: 커지는 두 거리를 따로 쫓지 말고, 둘 '사이의 간격' 하나가 얼마나 빨리 줄어드는지만 보는 거예요. 도구 #4(변수 도입하기)는 두 거리를 같다고 놓는 방정식으로 같은 답을 주며, 예비 방법으로 둡니다.

실행 — 정답: E

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 1

단위로 모델 고르기

각 사람은 집에서 직선 하나로만 이동하므로, 출발점으로부터의 거리는 속력 $\times$ 시간입니다.
단위가 이 모델을 확인해 줘요: 마일 $=$ (마일/시간) $\times$ 시간.
우리가 원하는 건 각자 집'으로부터'의 거리이지 둘 '사이'의 거리가 아니므로, 수직 방향은 끼어들지 않고 피타고라스 정리도 필요 없습니다.

$$\text{출발점으로부터의 거리} = \text{속력} \times \text{시간}, \quad \text{mi} = \tfrac{\text{mi}}{\text{hr}} \times \text{hr}$$

💡 집에서 직선으로 멀어지면, 집으로부터의 거리는 그냥 얼마나 빠르게 곱하기 얼마나 오래예요.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 2

앤디의 1시간 선두

앤디는 벳시가 출발하기도 전에 $1{:}30$부터 $2{:}30$까지 꼬박 한 시간을 탑니다.
그 한 시간 동안 $8 \times 1 = 8$마일을 가죠.
그래서 $2{:}30$에 앤디는 집에서 $8$마일 떨어져 있고 벳시는 아직 $0$마일입니다.

$$8\ \tfrac{\text{mi}}{\text{hr}} \times 1\ \text{hr} = 8\ \text{mi}$$

💡 $1$시간 차이가 집으로부터의 거리에서 $8$마일 선두로 바뀝니다.

#16 관점 바꾸기 6.RP.A.3 단계 3

두 거리 말고 간격을 쫓기

커지는 두 거리를 따라가는 대신, 둘 사이의 간격을 봅니다.
$2{:}30$ 이후 매시간 벳시의 집으로부터의 거리는 $12$마일씩 커지고 앤디는 $8$마일씩만 커지므로, 간격은 매시간 $12 - 8 = 4$마일씩 줄어듭니다.

$$12\ \tfrac{\text{mi}}{\text{hr}} - 8\ \tfrac{\text{mi}}{\text{hr}} = 4\ \tfrac{\text{mi}}{\text{hr}}$$

💡 벳시가 더 빠르니, 두 속력의 차이만큼씩 앤디의 선두를 갉아먹어요.

#16 관점 바꾸기 6.NS.B.2 단계 4

간격이 언제 $0$이 될까?

간격은 $8$마일($2{:}30$에서 앤디의 선두)에서 시작해 시속 $4$마일로 줄어듭니다.
벳시가 $8 \div 4 = 2$시간을 타면 간격이 사라져 — 두 거리가 같아집니다.

$$\dfrac{8\ \text{mi}}{4\ \text{mi/hr}} = 2\ \text{hr} \ (2{:}30 \text{ 이후})$$

💡 $8$마일 선두가 시속 $4$마일로 줄면 정확히 $2$시간 만에 없어져요.

#8 단위 살펴보기 3.MD.A.1 단계 5

시각으로 바꾸기

벳시는 $2{:}30$에 출발했으니 $2$시간 뒤면 시계는 $4{:}30$을 가리킵니다.
그 순간 앤디는 $3$시간, 벳시는 $2$시간을 탔고, 둘 다 집에서 $24$마일 떨어져 있습니다.
시각은 $4{:}30$, 곧 보기 (E)입니다.

$$2{:}30 + 2\ \text{hr} = 4{:}30 \;\Rightarrow\; \textbf{(E)}$$

💡 벳시의 $2{:}30$ 출발에 $2$시간짜리 주행을 더하면 시각이 나옵니다.

[1] #8 6.RP.A.3 각 사람은 집에서 직선 하나로만 이동하므로, 출발점으로부터의 거리는 속력 $\times$ 시간입니다. 단위가 이 모델을 확인해 줘요: 마일 $=

[2] #8 6.RP.A.3 앤디는 벳시가 출발하기도 전에 $1{:}30$부터 $2{:}30$까지 꼬박 한 시간을 탑니다. 그 한 시간 동안 $8 \times 1 = 8$마

[3] #16 6.RP.A.3 커지는 두 거리를 따라가는 대신, 둘 사이의 간격을 봅니다. $2{:}30$ 이후 매시간 벳시의 집으로부터의 거리는 $12$마일씩 커지고 앤디는

[4] #16 6.NS.B.2 간격은 $8$마일($2{:}30$에서 앤디의 선두)에서 시작해 시속 $4$마일로 줄어듭니다. 벳시가 $8 \div 4 = 2$시간을 타면 간격이

[5] #8 3.MD.A.1 벳시는 $2{:}30$에 출발했으니 $2$시간 뒤면 시계는 $4{:}30$을 가리킵니다. 그 순간 앤디는 $3$시간, 벳시는 $2$시간을 탔고,

검토

합리성 확인: 동점을 직접 확인해 봅시다: $4{:}30$에 앤디는 $3$시간, 벳시는 $2$시간을 탔으므로 $8 \times 3 = 24$마일과 $12 \times 2 = 24$마일 — 정확히 일치하니 (E)가 일관됩니다. 앞선 보기들은 어긋나요: $4{:}00$에는 앤디가 $8 \times 2.5 = 20$마일 나가 있지만 벳시는 $12 \times 1.5 = 18$마일뿐이라 아직 뒤처져 있습니다. 간격이 처음으로 $0$이 되는 건 $4{:}30$입니다.

대안 접근: 변수를 도입합니다(도구 #4): 앤디가 출발한 뒤 지난 시간을 $t$라 하면 벳시는 $t - 1$시간을 탄 셈입니다. 두 거리를 같다고 놓으면 $8t = 12(t - 1)$, 즉 $8t = 12t - 12$에서 $t = 3$이 되어 시계는 $1{:}30 + 3 = 4{:}30$을 가리킵니다. 이 방법도 되지만 변수가 등식의 양쪽에 놓여 — 형식적으로는 8학년 수준의 처리 — 반면 간격을 쫓는 관점은 모든 걸 6학년 비율·비 추론 안에 둡니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 6)

6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (각 사람의 집으로부터의 거리를 속력 $\times$ 시간으로 모델링하고, 두 거리 사이의 간격이 줄어드는 속도($12 - 8 = 4$ mph)를 구하는 데 사용.)
6.NS.B.2 표준 알고리즘으로 여러 자리 수를 능숙하게 나누기 ($8$마일 선두를 시속 $4$마일의 따라잡는 속도로 나누어 벳시가 거리로 따라잡는 데 걸리는 $2$시간을 구하는 데 사용.)
3.MD.A.1 분 단위까지 시각을 읽고 쓰며 경과 시간 문제 해결하기 (벳시의 $2{:}30$ 출발에 $2$시간짜리 주행 구간을 더해 답을 시각 $4{:}30$으로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 두 사람이 같은 지점에서 직선으로 멀어질 때는 두 거리를 따로 굴리지 말고, 둘 사이의 간격과 그것이 줄어드는 속도를 보세요. 앤디의 $8$마일 선두가 시속 $4$마일로 사라지니, 벳시가 출발하고 $2$시간 뒤인 $4{:}30$에 동점이 됩니다.