AMC 10 · 2025 · #19

학년 7 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-pyramidsimilar-figuresratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportion

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

그림과 같이, 어떤 그릇은 $1\times 1$ 인 정사각형 바닥과 $3\times 3$ 으로 뚫려 있는 정사각형 윗면, 그리고 서로 합동인 네 개의 사다리꼴 옆면으로 이루어져 있다. 그릇이 비어 있는 상태에서 시작하여, 일정한 속도로 물을 흘려보내는 호스로 사다리꼴의 중선 높이까지 그릇을 채우는 데 $35$ 분이 걸린다.

그릇의 나머지 부분을 마저 채우는 데에는 몇 분이 더 걸리는가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

105

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 한 물통은 바닥이 $1\times1$ 정사각형이고, 위쪽이 뚫린 $3\times3$ 정사각형이며, 옆면 네 개는 모두 똑같은 기울어진 면입니다. 물은 일정한 속도로 채워집니다. 기울어진 옆면의 중간선(높이의 절반)까지 채우는 데 $35$분이 걸립니다. 나머지를 다 채우는 데 몇 분이 더 걸리는지 구하세요.

주어진 것: 바닥은 $1\times1$ 정사각형이고, 뚫린 윗면은 $3\times3$ 정사각형이다; 옆면 네 개가 모두 합동인 사다리꼴이라, 수평으로 자른 단면은 언제나 정사각형이다; 물은 일정한 속도로 들어온다; 사다리꼴의 중간선(높이의 절반)까지 채우는 데 $35$분이 걸린다; 선택지: (A) $70$, (B) $85$, (C) $90$, (D) $95$, (E) $105$

구하는 것: 중간선부터 $3\times3$ 윗면까지 채우는 데 더 걸리는 시간

이해

계획

주요 도구: #9 더 쉬운 문제로 줄이기

보조 도구: #1 그림 그리기, #17 공간 상상하기, #8 단위 살펴보기

이 물통은 각뿔대(각뿔의 뾰족한 끝을 잘라낸 모양)라서, K-8 범위에는 부피를 바로 구하는 깔끔한 공식이 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 이를 해결합니다. 네 옆면을 아래로 연장해 한 점에서 만나게 하면, 다루기 까다로운 각뿔대가 완전한 정사각뿔로 바뀝니다. 그러면 이 모양은 밑면 정사각형의 한 변이 각각 $1$, $2$, $3$인 세 개의 겹친 각뿔로 이루어집니다. 도구 #17(공간 상상하기)로 이 세 각뿔이 크기만 다른 닮음 도형임을 보면, 부피는 세제곱의 비로 비교됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 커지는 정사각형 단면을 따라가고, 도구 #8(단위 살펴보기)로 부피의 비를 일정한 물 채우기 속도를 이용해 시간으로 바꿉니다.

실행 — 정답: D

#9 더 쉬운 문제로 줄이기 7.G.A.3 단계 1

뾰족한 끝을 채워 완전한 각뿔 만들기

네 옆면이 모두 같은 방식으로 안쪽으로 기울어져 있으므로, 아래로 연장하면 물통 밑의 한 점에서 만납니다.
이렇게 하면 완전한 정사각뿔이 됩니다.
실제 물통은 이 큰 각뿔에서 작은 뾰족한 끝을 잘라낸 모양입니다.
잘린 모양보다 완전한 각뿔을 다루는 편이 훨씬 쉽습니다.

$$\text{물통} = (\text{완전한 각뿔}) - (\text{잘라낸 끝})$$

💡 빠진 끝을 채우면 어려운 각뿔대가, 크기 비교로 잴 수 있는 쉬운 각뿔로 바뀐다.

#1 그림 그리기 7.RP.A.2 단계 2

단면은 한 변이 1, 2, 3인 정사각형

물통을 수평으로 자른 단면은 모두 정사각형입니다.
바닥에서 한 변은 $1$, 위쪽에서 한 변은 $3$, 정확히 절반 높이에서는 그 평균인 $2$입니다.
각뿔의 꼭짓점에서부터 재면 정사각형의 한 변은 높이에 비례하므로, 꼭짓점에서 높이 한 칸이면 한 변 $1$, 두 칸이면 한 변 $2$, 세 칸이면 한 변 $3$입니다.
따라서 높이의 비가 $1:2:3$인 세 개의 겹친 각뿔이 생깁니다.

$$\text{중간선에서 한 변} = \dfrac{1+3}{2} = 2$$

💡 원뿔이나 각뿔에서는 단면이 높이에 맞춰 커지므로, 한 변과 높이가 함께 늘어난다.

#17 공간 상상하기 6.EE.A.1 단계 3

부피는 세제곱 비: 1, 8, 27

세 각뿔($1\times1$, $2\times2$, $3\times3$ 정사각형까지)은 같은 모양을 각각 $1$배, $2$배, $3$배로 키운 것입니다.
입체를 어떤 배율로 키우면 부피는 그 배율을 세 번, 즉 각 방향마다 한 번씩 곱한 만큼 커집니다.
그래서 부피의 비는 $1^3 : 2^3 : 3^3 = 1 : 8 : 27$입니다.

$$1^3 : 2^3 : 3^3 = 1 : 8 : 27$$

💡 모든 변을 두 배로 하면 가로, 세로, 높이가 다 두 배가 되어 부피는 $2\times2\times2$만큼 커진다.

#17 공간 상상하기 6.RP.A.3 단계 4

채운 부분은 7, 남은 부분은 19

중간선 아래의 물은 크기 $1$인 각뿔과 크기 $2$인 각뿔 사이 부분을 채웁니다.
그 부피는 $8 - 1 = 7$칸입니다.
아직 채워야 할 부분은 크기 $2$와 크기 $3$ 사이로, 그 부피는 $27 - 8 = 19$칸입니다.
그래서 이미 채운 부분과 남은 부분의 비는 $7 : 19$입니다.

$$8 - 1 = 7 \qquad 27 - 8 = 19$$

💡 물통의 각 층은 겹친 두 각뿔 사이의 틈이므로, 부피를 빼서 구한다.

#8 단위 살펴보기 6.RP.A.3 단계 5

부피를 시간으로 바꾸기

속도가 일정하므로 시간은 부피에 비례합니다.
아래쪽 $7$칸이 $35$분 걸렸으니, 부피 $1$칸은 $35 \div 7 = 5$분 걸립니다.
따라서 남은 $19$칸은 $19 \times 5 = 95$분 걸립니다.
정답은 $(\text{D})\ 95$입니다.

$$\dfrac{35}{7} = 5 \;\text{분/칸} \;\Rightarrow\; 19 \times 5 = 95$$

💡 일정하게 부으면 물이 두 배면 시간도 두 배이므로, 분은 부피 칸수를 그대로 따라간다.

[1] #9 7.G.A.3 네 옆면이 모두 같은 방식으로 안쪽으로 기울어져 있으므로, 아래로 연장하면 물통 밑의 한 점에서 만납니다. 이렇게 하면 완전한 정사각뿔이 됩니다

[2] #1 7.RP.A.2 물통을 수평으로 자른 단면은 모두 정사각형입니다. 바닥에서 한 변은 $1$, 위쪽에서 한 변은 $3$, 정확히 절반 높이에서는 그 평균인 $2$

[3] #17 6.EE.A.1 세 각뿔($1\times1$, $2\times2$, $3\times3$ 정사각형까지)은 같은 모양을 각각 $1$배, $2$배, $3$배로 키운

[4] #17 6.RP.A.3 중간선 아래의 물은 크기 $1$인 각뿔과 크기 $2$인 각뿔 사이 부분을 채웁니다. 그 부피는 $8 - 1 = 7$칸입니다. 아직 채워야 할 부

[5] #8 6.RP.A.3 속도가 일정하므로 시간은 부피에 비례합니다. 아래쪽 $7$칸이 $35$분 걸렸으니, 부피 $1$칸은 $35 \div 7 = 5$분 걸립니다. 따

검토

합리성 확인: 물통의 위쪽 절반은 아래쪽 절반보다 훨씬 넓습니다($2$에서 $3$으로 가는 정사각형 띠 대 $1$에서 $2$로 가는 띠). 그러니 물을 훨씬 많이 담고 $35$분보다 훨씬 오래 걸려야 합니다. 비 $19:7$로 계산하면 $35 \times \tfrac{19}{7} = 95$분으로, $35$보다 넉넉히 크니 잘 맞습니다. 단면 넓이로 빠르게 확인해도, 채운 부피는 $2^3 - 1^3 = 7$처럼, 남은 부피는 $3^3 - 2^3 = 19$처럼 움직여 같은 $7:19$가 되어 (D)를 확인해 줍니다. 선택지 $70$과 $85$는 위쪽이 얼마나 더 넓은지에 비해 너무 작습니다.

대안 접근: 각뿔대 부피 공식 $V = \tfrac{1}{3}h\,(A_1 + A_2 + \sqrt{A_1 A_2})$를 씁니다. 아래 각뿔대는 밑넓이가 $1$과 $4$라서 $\tfrac{1}{3}h(1 + 4 + 2) = \tfrac{7}{3}h$, 위 각뿔대는 넓이가 $4$와 $9$라서 $\tfrac{1}{3}h(4 + 9 + 6) = \tfrac{19}{3}h$입니다. 그 비가 $7:19$이므로 남은 시간은 $35 \times \tfrac{19}{7} = 95$분입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 7)

7.G.A.3 입체도형을 자를 때 생기는 평면도형을 설명하기 (물통의 모든 수평 단면이 정사각형임을 알아채고, 각뿔대를 완전한 각뿔로 완성하는 데 사용.)
7.RP.A.2 두 양 사이의 비례 관계를 인식하고 나타내기 (정사각형의 한 변이 높이에 비례함을 보아, 높이의 비가 $1:2:3$인 겹친 각뿔을 얻는 데 사용.)
6.EE.A.1 자연수 지수를 포함한 수식을 쓰고 계산하기 (배율을 세제곱하여 각뿔 부피의 비가 $1:8:27$이 되게 하는 데 사용.)
6.RP.A.3 비와 비율 추론으로 실생활 및 수학 문제 해결하기 (빼서 $7:19$의 부피 비를 구하고, 일정한 채우기 속도로 이를 $95$분으로 바꾸는 데 사용.)

⭐ 잘려 나간 각뿔의 빠진 끝을 채운 뒤, 배율을 세제곱해서 닮은 도형을 비교하자. 부피는 크기의 세제곱으로 커지므로, 위가 조금만 넓어도 물은 훨씬 많이 담긴다.