AMC 10 · 2025 · #19

학년 7 geometry-3d
유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid
volume-pyramidsimilar-figuresratio-proportion identify-subproblems ↑ 선수 지식: ratio-proportion
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형
문제
한 물통은 바닥이 1×1 정사각형이고, 위쪽이 뚫린 3×3 정사각형이며, 옆면 네 개는 모두 똑같은 기울어진 면입니다. 물은 일정한 속도로 채워집니다. 기울어진 옆면의 중간선(높이의 절반)까지 채우는 데 35분이 걸립니다. 나머지를 다 채우는 데 몇 분이 더 걸리는지 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
70
(B)
85
(C)
90
(D)
95
(E)
105

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 더 쉬운 문제로 줄이기

이 물통은 각뿔대(각뿔의 뾰족한 끝을 잘라낸 모양)라서, K-8 범위에는 부피를 바로 구하는 깔끔한 공식이 없습니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)가 이를 해결합니다. 네 옆면을 아래로 연장해 한 점에서 만나게 하면, 다루기 까다로운 각뿔대가 완전한 정사각뿔로 바뀝니다. 그러면 이 모양은 밑면 정사각형의 한 변이 각각 1, 2, 3인 세 개의 겹친 각뿔로 이루어집니다. 도구 #17(공간 상상하기)로 이 세 각뿔이 크기만 다른 닮음 도형임을 보면, 부피는 세제곱의 비로 비교됩니다. 도구 #1(그림 그리기)로 커지는 정사각형 단면을 따라가고, 도구 #8(단위 살펴보기)로 부피의 비를 일정한 물 채우기 속도를 이용해 시간으로 바꿉니다.

1STEP 1

뾰족한 끝을 채워 완전한 각뿔 만들기

네 옆면을 아래로 연장해 한 점에서 만나게 하면, 물통은 끝이 잘린 큰 정사각뿔이 됩니다.

물통 = (완전한 각뿔) - (잘라낸 끝)
2STEP 2

단면은 한 변이 1, 2, 3인 정사각형

수평 단면은 모두 정사각형입니다. 바닥은 한 변 1, 중간선은 한 변 2, 위는 한 변 3입니다.

중간선에서 한 변 = (1+3)/2 = 2
3STEP 3

부피는 세제곱 비: 1, 8, 27

겹친 세 각뿔은 배율이 1, 2, 3이므로 부피의 비는 세제곱인 1 : 8 : 27입니다.

1³ : 2³ : 3³ = 1 : 8 : 27
4STEP 4

채운 부분은 7, 남은 부분은 19

중간선 아래의 물은 8 - 1 = 7칸, 아직 빈 곳은 27 - 8 = 19칸입니다.

8 - 1 = 7 27 - 8 = 19
5STEP 5

부피를 시간으로 바꾸기

시간은 부피에 비례합니다. 7칸이 35분이니 1칸은 5분, 남은 19칸은 95분입니다.

35/7 = 5 분/칸 → 19 × 5 = 95
정답
95
물통의 위쪽 절반은 아래쪽 절반보다 훨씬 넓습니다(2에서 3으로 가는 정사각형 띠 대 1에서 2로 가는 띠). 그러니 물을 훨씬 많이 담고 35분보다 훨씬 오래 걸려야 합니다. 비 19:7로 계산하면 35 × 19/7 = 95분으로, 35보다 넉넉히 크니 잘 맞습니다. 단면 넓이로 빠르게 확인해도, 채운 부피는 2³ - 1³ = 7처럼, 남은 부피는 3³ - 2³ = 19처럼 움직여 같은 7:19가 되어 (D)를 확인해 줍니다. 선택지 70과 85는 위쪽이 얼마나 더 넓은지에 비해 너무 작습니다.
💡핵심 정리

잘려 나간 각뿔의 빠진 끝을 채운 뒤, 배율을 세제곱해서 닮은 도형을 비교하자. 부피는 크기의 세제곱으로 커지므로, 위가 조금만 넓어도 물은 훨씬 많이 담긴다.

  • 뾰족한 끝을 채워 완전한 각뿔 만들기
  • 단면은 한 변이 1, 2, 3인 정사각형
  • 부피는 세제곱 비: 1, 8, 27
  • 채운 부분은 7, 남은 부분은 19
  • 부피를 시간으로 바꾸기

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