AMC 10 · 2025 · #2

학년 5 number-theory

유형 Units-Digit Tracking └ 세부 유형 Digitwise Additive Reduction

units-digit-trackingmodular-arithmetic-mod-10perfect-squares pattern-recognition ↑ 선수 지식: modular-arithmetic

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문제

제리는 처음 $2025$ 개의 양의 제곱수 각각의 일의 자리 숫자를 차례로 적었다: $1, 4, 9, 6, 5, 6, \dots$ . 제리가 적은 모든 숫자의 합은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

~9025

(B)

~9070

(C)

~9090

(D)

~9115

(E)

~9160

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 처음 $2025$ 개의 완전제곱수 $1^2,2^2,3^2,\dots,2025^2$ 각각에서 일의 자리 숫자만 뽑습니다. 이렇게 뽑은 $2025$ 개의 일의 자리 숫자를 모두 더한 값을 구하세요.

주어진 것: 제리는 $n=1$ 부터 $2025$ 까지 각 $n^2$ 의 일의 자리 숫자를 적음; 적은 숫자는 $1,4,9,6,5,6,\dots$ 으로 시작함 ($1^2,2^2,3^2,4^2,5^2,6^2,\dots$ 의 일의 자리); 선택지: (A) $9025$, (B) $9070$, (C) $9090$, (D) $9115$, (E) $9160$

구하는 것: 제리가 적은 $2025$ 개의 일의 자리 숫자의 합

이해

계획

주요 도구: #5 패턴 찾기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기

$2025$ 개의 일의 자리 숫자를 손으로 하나하나 더하는 것은 불가능하므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심입니다: $n^2$ 의 일의 자리는 $n$ 의 일의 자리로 정해지므로 일의 자리 숫자 목록은 $10$ 개씩 블록으로 반복됩니다. 반복 블록을 알아내면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 개수 $2025$ 를 온전한 블록들과 짧은 나머지로 나눠, 거대한 합을 작은 곱셈 하나와 짧은 덧셈으로 바꿉니다.

실행 — 정답: D

#5 패턴 찾기 4.NBT.B.5 단계 1

반복되는 10개 블록 찾기

곱의 일의 자리는 곱하는 수들의 일의 자리에만 좌우되므로, $n^2$ 의 일의 자리는 $n$ 의 일의 자리로 완전히 정해집니다.
그래서 제곱수의 일의 자리는 $10$ 항마다 반복됩니다.
$1$ 부터 $10$ 까지 제곱하여 각 일의 자리만 남기면 $1,4,9,6,5,6,9,4,1,0$ 입니다.
다음 제곱 $11^2=121$ 은 다시 $1$ 로 끝나므로, 이 $10$ 개 블록이 계속 반복됩니다.

$$1^2\to1,\;2^2\to4,\;3^2\to9,\;4^2\to6,\;5^2\to5,\;6^2\to6,\;7^2\to9,\;8^2\to4,\;9^2\to1,\;10^2\to0$$

💡 수의 마지막 자리만 그 제곱의 마지막 자리에 영향을 주므로, 끝자리는 반드시 순환합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 2

블록 하나 더하기

온전한 블록 하나가 얼마를 더하는지 보려고 블록의 열 개 일의 자리 숫자를 더합니다: $1+4+9+6+5+6+9+4+1+0$.
$1+9$, $4+6$, $9+1$, $6+4$ 로 짝지으면 $10$ 이 네 개, 여기에 남은 $5$ 를 더해 $45$ 입니다.
열 개 제곱수로 이뤄진 블록 하나마다 총합에 $45$ 가 더해집니다.

$$1+4+9+6+5+6+9+4+1+0 = 45$$

💡 덩어리가 반복되면 덩어리 하나의 합만 알면 됩니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.6 단계 3

2025개 항에 든 온전한 블록 수 세기

$2025$ 개 항을 $10$ 개씩 묶습니다.
나누면 $2025\div10=202$ 이고 나머지가 $5$ 이므로 $2025=202\times10+5$ 입니다.
즉 온전한 $10$ 개 블록이 $202$ 개이고, 끝에 항 $5$ 개가 남습니다.

$$2025 = 202\times10 + 5$$

💡 일의 자리 왼쪽 숫자 $202$ 가 $2025$ 안에 온전한 십이 몇 개 들어가는지 알려 줍니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 5.NBT.B.5 단계 4

온전한 블록들의 합

$202$ 개의 온전한 블록이 각각 $45$ 를 더하므로, 온전한 블록 전체는 $202\times45$ 를 줍니다.
$200\times45+2\times45=9000+90=9090$ 으로 계산합니다.

$$202\times45 = 9000+90 = 9090$$

💡 블록 합에 블록 개수를 곱하면 모든 반복을 한 번에 처리합니다.

#7 작은 문제로 쪼개기 4.NBT.B.4 단계 5

남은 다섯 항 더하기

남은 $5$ 개 항은 $n=2021,2022,2023,2024,2025$ 에 해당하고, 그 일의 자리는 블록의 처음과 같은 $1,4,9,6,5$ 입니다.
이들의 합은 $1+4+9+6+5=25$ 입니다.
이를 블록 합에 더하면 $9090+25=9115$ 입니다.
이것이 선택지 (D)입니다.
(C)의 함정 값 $9090$ 은 남은 $5$ 개 항을 잊었을 때 정확히 나오는 값입니다.

$$9090 + (1+4+9+6+5) = 9090 + 25 = 9115 \;\Rightarrow\; \textbf{(D)}$$

💡 남은 항들은 같은 블록을 다시 시작하는 것이므로, 그 일의 자리는 블록의 앞부분 숫자들입니다.

[1] #5 4.NBT.B.5 곱의 일의 자리는 곱하는 수들의 일의 자리에만 좌우되므로, $n^2$ 의 일의 자리는 $n$ 의 일의 자리로 완전히 정해집니다. 그래서 제곱수의

[2] #7 4.NBT.B.4 온전한 블록 하나가 얼마를 더하는지 보려고 블록의 열 개 일의 자리 숫자를 더합니다: $1+4+9+6+5+6+9+4+1+0$. $1+9$, $4

[3] #7 5.NBT.B.6 $2025$ 개 항을 $10$ 개씩 묶습니다. 나누면 $2025\div10=202$ 이고 나머지가 $5$ 이므로 $2025=202\times10

[4] #7 5.NBT.B.5 $202$ 개의 온전한 블록이 각각 $45$ 를 더하므로, 온전한 블록 전체는 $202\times45$ 를 줍니다. $200\times45+2\

[5] #7 4.NBT.B.4 남은 $5$ 개 항은 $n=2021,2022,2023,2024,2025$ 에 해당하고, 그 일의 자리는 블록의 처음과 같은 $1,4,9,6,5$

검토

합리성 확인: 대략 어림해도 크기가 맞습니다: 일의 자리의 평균은 $45/10=4.5$ 이고 $4.5\times2025\approx9112$ 로 $9115$ 바로 옆입니다. 또한 총합은 반드시 $5$ 로 끝납니다: $202\times45$ 는 $0$ 으로 끝나고 남은 $25$ 는 $5$ 로 끝나므로 합은 $5$ 로 끝나 (D) $9115$ 와 맞고 (B)·(C)·(E)는 지워집니다. 선택지 (C) $9090$ 은 마지막 $5$ 개 항을 빠뜨려야만 나오고, (A) $9025$ 는 블록 수를 잘못 세어 나오므로 (D)가 일관된 결과입니다.

대안 접근: 나머지를 따로 떼는 대신, $n=1$ 부터 $5$ 까지의 일의 자리($1,4,9,6,5$, 합 $25$)와 $n=6$ 부터 $10$ 까지($6,9,4,1,0$, 합 $20$)가 각각 반쪽 블록을 이룹니다. 온전한 블록이 $202$ 개($202\times45=9090$)이고 여기에 앞쪽 반쪽 하나($25$)를 더하면 다시 $9090+25=9115$ 입니다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 5)

4.NBT.B.5 자릿값에 기반한 전략으로 자연수를 곱한다 ($n^2$ 의 일의 자리가 $n$ 의 일의 자리에만 좌우되어 일의 자리가 열 개 제곱수마다 반복됨을 추론하는 데 사용.)
4.NBT.B.4 여러 자리 자연수를 능숙하게 더하고 뺀다 (블록 하나를 $45$ 로 더하고, 남은 숫자를 $25$ 로 더하고, $9090+25=9115$ 로 합치는 데 사용.)
5.NBT.B.6 자연수의 몫과 나머지를 구한다 ($2025$ 를 $10$ 으로 나눠 온전한 블록 $202$ 개와 나머지 항 $5$ 개를 얻는 데 사용.)
5.NBT.B.5 표준 알고리즘으로 여러 자리 자연수를 능숙하게 곱한다 (온전한 블록 전체가 기여하는 $202\times45=9090$ 을 계산하는 데 사용.)

⭐ 제곱수의 일의 자리는 열 개마다 반복되므로, 온전한 블록 수를 세어 블록 하나의 합에 곱한 뒤 남는 몇 개만 더하면 됩니다.