AMC 10 · 2025 · #2
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AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
2025 개의 일의 자리 숫자를 손으로 하나하나 더하는 것은 불가능하므로, 도구 #5(패턴 찾기)가 핵심입니다: n²의 일의 자리는 n 의 일의 자리로 정해지므로 일의 자리 숫자 목록은 10 개씩 블록으로 반복됩니다. 반복 블록을 알아내면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 개수 2025를 온전한 블록들과 짧은 나머지로 나눠, 거대한 합을 작은 곱셈 하나와 짧은 덧셈으로 바꿉니다.
반복되는 10개 블록 찾기
n²의 일의 자리는 n 의 일의 자리로 정해지므로, 1~10을 제곱한 1,4,9,6,5,6,9,4,1,0 이 계속 반복됩니다.
수의 마지막 자리만 그 제곱의 마지막 자리에 영향을 주므로, 끝자리는 반드시 순환합니다.
어떤 수의 제곱의 끝자리에는 그 수의 끝자리만 영향을 주므로, 그 끝이 되풀이될 수밖에 없다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 높은 자리는 가장 낮은 자리를 건드리지 않는다.
▸ 왜?
가능한 끝자리가 열뿐이므로, 그 끝이 처음 자리로 돌아와 되풀이된다.
블록 하나 더하기
블록 하나를 더하면 10이 네 쌍에 5가 남아, 온전한 블록마다 45 씩 늘어납니다.
덩어리가 반복되면 덩어리 하나의 합만 알면 됩니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems2025개 항에 든 온전한 블록 수 세기
2025 개 항을 10 개씩 묶으면 온전한 블록 202 개와 남는 항 5 개가 됩니다.
일의 자리 왼쪽 숫자 202가 2025 안에 온전한 십이 몇 개 들어가는지 알려 줍니다.
5.NBT.B.6Identify Subproblems온전한 블록들의 합
블록마다 45 씩이므로 202 개 블록은 202×45 = 9000+90 = 9090 입니다.
블록 합에 블록 개수를 곱하면 모든 반복을 한 번에 처리합니다.
5.NBT.B.5Identify Subproblems남은 다섯 항 더하기
남은 n=2021~2025의 끝자리 1,4,9,6,5의 합 25를 더하면 9090+25 = 9115, 선택지 (D)입니다.
남은 항들은 같은 블록을 다시 시작하는 것이므로, 그 일의 자리는 블록의 앞부분 숫자들입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems제곱수의 일의 자리는 열 개마다 반복되므로, 온전한 블록 수를 세어 블록 하나의 합에 곱한 뒤 남는 몇 개만 더하면 됩니다.
- 반복되는 10개 블록 찾기
- 블록 하나 더하기
- 2025개 항에 든 온전한 블록 수 세기
- 온전한 블록들의 합
- 남은 다섯 항 더하기