AMC 10 · 2025 · #24

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개구리가 수직선의 0에서 출발한다. 0에서는 확률

\frac{1}{2}

로 1로 뛰고 나머지 경우에는 사라진다. 1, 2, 3 중 어느 곳에서든 확률

\frac{1}{4}

로 한 칸 위로, 확률

\frac{1}{4}

로 한 칸 아래로 뛰고, 확률

\frac{1}{2}

로 사라진다. 개구리가 언젠가 4에 도달할 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac1{101}$

(B)

$\frac 1{100}$

(C)

$\frac1{99}$

(D)

$\frac1{98}$

(E)

$\frac1{97}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 도입하기

개구리는 끝없이 돌아다닐 수 있어서 경로를 하나하나 쫓는 것은 불가능하다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이를 해결한다. 각 칸마다 미지수 P_n을 붙여 "여기서 언젠가 4에 도달할 확률"을 나타낸다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 이미 아는 유일한 값 P₄ = 1에 모든 것을 고정하고, 그 확실함을 출발점 P₀ 쪽으로 밀어 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 칸을 한 번의 뜀만큼의 작은 방정식으로 다루어, 엉킨 방황을 다섯 개의 미지수를 가진 다섯 개의 깔끔한 방정식으로 바꾼다. 이제 대입만으로 풀린다.

1STEP 1

각 칸의 확률에 이름 붙이기

칸 n에서 언젠가 4에 도달할 확률을 P_n이라 하자. 구할 것은 P₀이고, 4에 서 있으면 이미 성공이므로 P₄ = 1이다.

P_n = Pr(reach 4 ∣ now at n), P₄ = 1

2STEP 2

한 번의 뜀을 한 방정식으로

n = 1, 2, 3에서 한 번 뛰는 것을 가중하면 P_n = $\frac{1}{4}$ P_n+1 + $\frac{1}{4}$ P_n-1, 사라짐은 0을 기여한다.

P_n = 1/4 P_n+1 + 1/4 P_n-1 (n = 1, 2, 3)

3STEP 3

특별한 두 끝 처리하기

양 끝은 다르다. 4는 이미 끝났고, 0에서 위로 갈 확률은 $\frac{1}{2}$ 뿐이므로 P₀ = $\frac{1}{2}$ P₁이다.

P₄ = 1, P₀ = 1/2 P₁

4STEP 4

모든 확률을 P₀으로 되돌리기

방정식을 사슬처럼 올려 P₀의 배수로 쓰면 P₁ = 2P₀, 이어서 P₂ = 7P₀, P₃ = 26P₀이다.

P₁ = 2P₀, P₂ = 7P₀, P₃ = 26P₀

5STEP 5

고리를 닫고 풀기

아직 쓰지 않은 칸 3의 방정식은 104P₀ = 1 + 7P₀이 되어 97P₀ = 1, 즉 P₀ = $\frac{1}{97}$ — 선택지 (E).

104P₀ = 1 + 7P₀ → 97P₀ = 1 → P₀ = 1/97 (E)

정답

1/97

이 확률은 아주 작아야 한다. 개구리는 적어도 네 번은 뛰어야 하고(각 움직임은 확률 1/2로만 살아남는다) 뒤로 흘러가 움직임을 낭비할 수도 있으므로 1/100 부근의 값이 예상되며 1/97 ≈ 0.0103이 이에 들어맞는다. 하한 점검: 곧장 가는 경로 0 → 1 → 2 → 3 → 4 하나만의 확률은 1/2 · 1/4 · 1/4 · 1/4 = 1/128이고, 방황하는 모든 경로를 더하면 전체가 그보다 조금 커져야 한다. 실제로 1/97 ＞ 1/128이다. 다섯 방정식은 각각 정확히 한 번씩 쓰였고 모든 대입은 되돌릴 수 있으므로 잃어버린 정보는 없다.

💡핵심 정리

각 칸에 4에 도달할 확률을 이름 붙이고, 각 뜀을 하나의 가중평균 방정식으로 바꾼 뒤, 모두 출발점으로 사슬처럼 되돌리면 97P₀ = 1, 즉 답은 1/97이다.

각 칸의 확률에 이름 붙이기
한 번의 뜀을 한 방정식으로
특별한 두 끝 처리하기
모든 확률을 P₀으로 되돌리기
고리를 닫고 풀기

각 칸의 확률에 이름 붙이기

한 번의 뜀을 한 방정식으로

특별한 두 끝 처리하기

모든 확률을 P₀으로 되돌리기

고리를 닫고 풀기

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