AMC 10 · 2025 · #24

학년 8 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Markov State Probability

probability-basicrecursive-sequencesystems-of-equations convert-to-algebra ↑ 선수 지식: probability-basic

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

개구리 한 마리가 다음 규칙에 따라 수직선 위를 뛰어다닌다.

$0$ 에서 출발한다.
$0$ 에 있을 때는, 확률 $\frac 12$ 로 $1$ 로 이동하고 확률 $\frac 12$ 로 사라진다.
$n=1,2,3$ 에 대하여, $n$ 에 있을 때는 확률 $\frac 14$ 로 $n+1$ 로 이동하고, 확률 $\frac 14$ 로 $n-1$ 로 이동하며, 확률 $\frac 12$ 로 사라진다.

이 개구리가 $4$ 에 도달할 확률은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac1{101}$

(B)

$\frac 1{100}$

(C)

$\frac1{99}$

(D)

$\frac1{98}$

(E)

$\frac1{97}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

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보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 개구리가 수직선의 $0$에서 출발한다. $0$에서는 확률 $\tfrac12$로 $1$로 뛰고 나머지 경우에는 사라진다. $1$, $2$, $3$ 중 어느 곳에서든 확률 $\tfrac14$로 한 칸 위로, 확률 $\tfrac14$로 한 칸 아래로 뛰고, 확률 $\tfrac12$로 사라진다. 개구리가 언젠가 $4$에 도달할 확률을 구하여라.

주어진 것: 개구리는 위치 $0$에서 출발한다; $0$에서: 확률 $\tfrac12$로 $1$로 뛰고, 확률 $\tfrac12$로 사라진다; $n = 1, 2, 3$에서: 확률 $\tfrac14$로 $n+1$로, 확률 $\tfrac14$로 $n-1$로 뛰고, 확률 $\tfrac12$로 사라진다; 선택지: (A) $\tfrac1{101}$, (B) $\tfrac1{100}$, (C) $\tfrac1{99}$, (D) $\tfrac1{98}$, (E) $\tfrac1{97}$

구하는 것: $0$에서 출발한 개구리가 언젠가 $4$에 도달할 확률

이해

계획

주요 도구: #4 변수 도입하기

보조 도구: #11 거꾸로 풀기, #7 작은 문제로 쪼개기

개구리는 끝없이 돌아다닐 수 있어서 경로를 하나하나 쫓는 것은 불가능하다. 도구 #4(변수 도입하기)가 이를 해결한다. 각 칸마다 미지수 $P_n$을 붙여 "여기서 언젠가 $4$에 도달할 확률"을 나타낸다. 도구 #11(거꾸로 풀기)은 이미 아는 유일한 값 $P_4 = 1$에 모든 것을 고정하고, 그 확실함을 출발점 $P_0$ 쪽으로 밀어 준다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 각 칸을 한 번의 뜀만큼의 작은 방정식으로 다루어, 엉킨 방황을 다섯 개의 미지수를 가진 다섯 개의 깔끔한 방정식으로 바꾼다. 이제 대입만으로 풀린다.

실행 — 정답: E

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 1

각 칸의 확률에 이름 붙이기

우리가 구하려는 것을 모든 위치마다 이름 붙인다.
$P_n$을 개구리가 칸 $n$ 위에 서 있을 때 언젠가 $4$에 도달할 확률이라 하자.
개구리는 $0$에서 시작하므로 우리가 찾는 답은 $P_0$이다.
$4$에서 $4$에 도달하는 데는 뜀이 전혀 필요 없으므로 $P_4 = 1$이다.
이제 방황하는 개구리 문제는 다섯 개의 수 $P_0, P_1, P_2, P_3, P_4$를 찾는 문제가 된다.

$$P_n = \Pr(\text{reach } 4 \mid \text{now at } n), \qquad P_4 = 1$$

💡 각 칸에 그 칸만의 성공 확률을 이름 붙이면 개구리의 선택을 방정식으로 쓸 수 있다.

#11 거꾸로 풀기 7.SP.C.7 단계 2

한 번의 뜀을 한 방정식으로

안쪽 칸 $n = 1, 2, 3$ 위에 서 보자.
바로 다음 뜀은 $n+1$로(확률 $\tfrac14$), $n-1$로(확률 $\tfrac14$), 아니면 사라짐(확률 $\tfrac12$)이다.
$n$에서 $4$에 도달할 전체 확률은 다음에 착지하는 곳들의 확률을 가중평균한 값이고, 사라짐은 $0$을 기여한다.
따라서 $P_n = \tfrac14 P_{n+1} + \tfrac14 P_{n-1}$이다.
이를 $n = 1, 2, 3$에 대해 쓰면 각 칸을 이웃과 잇는 세 방정식이 나온다.

$$P_n = \tfrac14 P_{n+1} + \tfrac14 P_{n-1} \qquad (n = 1, 2, 3)$$

💡 미래의 성공 확률은 다음 뜀이 데려갈 수 있는 각 자리의 확률을 평균낸 것일 뿐이다.

#7 작은 문제로 쪼개기 7.SP.C.7 단계 3

특별한 두 끝 처리하기

양 끝은 자기만의 규칙을 따른다.
$4$에서는 개구리가 이미 끝났으므로 $P_4 = 1$이다.
$0$에서는 개구리가 두 가지 움직임뿐이다.
확률 $\tfrac12$로 $1$로 가거나 확률 $\tfrac12$로 사라지므로 $P_0 = \tfrac12 P_1$이다.
안쪽 세 방정식과 합치면 다섯 미지수에 대한 다섯 방정식이 된다.

$$P_4 = 1, \qquad P_0 = \tfrac12 P_1$$

💡 출발과 도착은 가운데 칸들과 다르게 행동하므로 각자 자기 방정식을 가진다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.8 단계 4

모든 확률을 $P_0$으로 되돌리기

각 $P_n$을 $P_0$의 배수로 다시 쓴다.
$P_0 = \tfrac12 P_1$에서 $P_1 = 2P_0$을 얻는다.
이를 $P_1 = \tfrac14 P_2 + \tfrac14 P_0$에 넣고 $4$를 곱하면 $8P_0 = P_2 + P_0$이므로 $P_2 = 7P_0$이다.
둘을 $P_2 = \tfrac14 P_3 + \tfrac14 P_1$에 넣고 $4$를 곱하면 $28P_0 = P_3 + 2P_0$이므로 $P_3 = 26P_0$이다.

$$P_1 = 2P_0, \quad P_2 = 7P_0, \quad P_3 = 26P_0$$

💡 각 칸의 확률이 이웃에 사슬처럼 묶여 있어서, 출발값 $P_0$ 하나가 나머지 전부를 결정한다.

#4 변수 도입하기 8.EE.C.7 단계 5

고리를 닫고 풀기

아직 쓰지 않은 방정식이 하나 남았다.
칸 $3$의 방정식 $P_3 = \tfrac14 P_4 + \tfrac14 P_2 = \tfrac14 + \tfrac14 P_2$이다.
$P_3 = 26P_0$과 $P_2 = 7P_0$을 대입하고 $4$를 곱하면 $104P_0 = 1 + 7P_0$이므로 $97P_0 = 1$, 즉 $P_0 = \tfrac{1}{97}$이다.
개구리가 $4$에 도달할 확률은 $\tfrac{1}{97}$이고, 이는 선택지 (E)이다.

$$104P_0 = 1 + 7P_0 \Rightarrow 97P_0 = 1 \Rightarrow P_0 = \tfrac{1}{97} \;\; \textbf{(E)}$$

💡 마지막 남은 방정식이 유일한 자유값을 확정하면, 나머지 모든 확률도 함께 정해진다.

[1] #4 6.EE.B.6 우리가 구하려는 것을 모든 위치마다 이름 붙인다. $P_n$을 개구리가 칸 $n$ 위에 서 있을 때 언젠가 $4$에 도달할 확률이라 하자. 개구

[2] #11 7.SP.C.7 안쪽 칸 $n = 1, 2, 3$ 위에 서 보자. 바로 다음 뜀은 $n+1$로(확률 $\tfrac14$), $n-1$로(확률 $\tfrac14$

[3] #7 7.SP.C.7 양 끝은 자기만의 규칙을 따른다. $4$에서는 개구리가 이미 끝났으므로 $P_4 = 1$이다. $0$에서는 개구리가 두 가지 움직임뿐이다. 확률

[4] #4 8.EE.C.8 각 $P_n$을 $P_0$의 배수로 다시 쓴다. $P_0 = \tfrac12 P_1$에서 $P_1 = 2P_0$을 얻는다. 이를 $P_1 = \

[5] #4 8.EE.C.7 아직 쓰지 않은 방정식이 하나 남았다. 칸 $3$의 방정식 $P_3 = \tfrac14 P_4 + \tfrac14 P_2 = \tfrac14 +

검토

합리성 확인: 이 확률은 아주 작아야 한다. 개구리는 적어도 네 번은 뛰어야 하고(각 움직임은 확률 $\tfrac12$로만 살아남는다) 뒤로 흘러가 움직임을 낭비할 수도 있으므로 $\tfrac{1}{100}$ 부근의 값이 예상되며 $\tfrac{1}{97} \approx 0.0103$이 이에 들어맞는다. 하한 점검: 곧장 가는 경로 $0 \to 1 \to 2 \to 3 \to 4$ 하나만의 확률은 $\tfrac12 \cdot \tfrac14 \cdot \tfrac14 \cdot \tfrac14 = \tfrac{1}{128}$이고, 방황하는 모든 경로를 더하면 전체가 그보다 조금 커져야 한다. 실제로 $\tfrac{1}{97} > \tfrac{1}{128}$이다. 다섯 방정식은 각각 정확히 한 번씩 쓰였고 모든 대입은 되돌릴 수 있으므로 잃어버린 정보는 없다.

대안 접근: 대신 칸 $k-1$에서 $k$로 처음 올라갈 확률 $q_k$를 추적할 수 있다. 그러면 $q_1 = \tfrac12$이고, 이후 각각은 $q_k = \tfrac14 + \tfrac14 q_{k-1} q_k$를 만족하여 $q_2 = \tfrac27$, $q_3 = \tfrac{7}{26}$, $q_4 = \tfrac{26}{97}$이 된다. 곱 $q_1 q_2 q_3 q_4$가 접혀 $\tfrac{1}{97}$이 된다. 세 번째 방법은 계수 $1, 2, 7, 26$이 $a_{n+1} = 4a_n - a_{n-1}$을 따름을 알아채는 것이다(특성근 $2 \pm \sqrt{3}$). 이 역시 $97$에 이른다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (각 칸에 미지수 $P_n$을 붙여 그 칸에서 언젠가 $4$에 도달할 확률을 나타내는 데 사용.)
7.SP.C.7 Develop probability models and use them to find probabilities of events (각 뜀을 가중평균 방정식 $P_n = \tfrac14 P_{n+1} + \tfrac14 P_{n-1}$로 쓰고 $0$과 $4$의 경계 확률을 다루는 데 사용.)
8.EE.C.8 Analyze and solve pairs of simultaneous linear equations (경계 방정식과 안쪽 방정식을 대입해 $P_1, P_2, P_3$을 $P_0$의 배수로 나타내는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (마지막 방정식을 $97P_0 = 1$로 줄이고 $P_0 = \tfrac{1}{97}$을 푸는 데 사용.)

⭐ 각 칸에 $4$에 도달할 확률을 이름 붙이고, 각 뜀을 하나의 가중평균 방정식으로 바꾼 뒤, 모두 출발점으로 사슬처럼 되돌리면 $97P_0 = 1$, 즉 답은 $\tfrac{1}{97}$이다.