AMC 10 · 2025 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments

pythagorean-theoremcoordinate-geometrylinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

프랜시스는 동서로 뻗은 울타리에 있는 잠긴 문에서 정남쪽으로 15 m 떨어진 곳에 서 있다. 상자는 울타리 선 위, 잠긴 문에서 동쪽으로 x m 지점에 있다. 열린 문 하나는 상자에서 동쪽으로 9 m, 또 다른 열린 문 하나는 잠긴 문에서 서쪽으로 8 m 떨어져 있다. 프랜시스는 상자에 가려고 열린 문 하나로 곧장 걸어가 통과한 뒤 상자로 곧장 걸어간다. 두 열린 문 어느 쪽으로 가도 총 걷는 거리가 같다. x를 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3 \frac{2}{7}$

(B)

$3 \frac{3}{7}$

(C)

$3 \frac{4}{7}$

(D)

$3 \frac{5}{7}$

(E)

$3 \frac{6}{7}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

이 장면은 온통 위치와 경로에 관한 것이므로, 먼저 격자 위에 그려 보는 것이 첫걸음이다. 그러면 울타리 정남쪽에 있는 프랜시스가 각 문을, 세로 변이 15 m인 직각삼각형의 꼭대기에서 바라본다는 사실이 드러난다. 그 덕분에 각 대각선 걷기가 피타고라스 길이가 된다. 그다음 상자까지의 거리를 x로 두고 각 길의 총 길이를 쓴 뒤, 둘을 같다고 놓고 나온 방정식을 풀면 된다.

1STEP 1

장면을 격자에 올리기

잠긴 문을 원점에, 동쪽을 양의 방향으로: 프랜시스 (0,-15), 상자 (x,0), 서쪽 문 (-8,0), 동쪽 문 (x+9,0).

F=(0,-15), 상자=(x,0), W=(-8,0), E=(x+9,0)

2STEP 2

서쪽 길 재기

서쪽 길: 대각선은 8-15-17 빗변 17, 울타리를 따라 x+8, 그래서 총합은 x+25.

√(8²+15²)=17, 서쪽 총합=17+(x+8)=x+25

3STEP 3

동쪽 길 재기

동쪽 길: 같은 직각삼각형으로 대각선은 √((x+9)²+225), 그다음 서쪽으로 9 m만 되돌아간다.

동쪽 총합=√((x+9)²+225)+9

4STEP 4

두 길을 같다고 놓고 풀기

총합이 같으니 x+16=√((x+9)²+225), 제곱하면 x²이 사라져 14x=50, 곧 x=25/7=3 4/7, 보기 (C).

x+16=√((x+9)²+225) → 14x=50 → x=25/7=3 4/7

정답

3 4/7

x=25/7을 다시 넣어 보자. 서쪽 길: x+25=25/7+25=200/7≈ 28.57. 동쪽 길: x+9=88/7이므로 대각선은 √((88/7)²+225)=√(7744/49+11025/49)=√(18769/49)=137/7이고, 여기에 9를 더하면 137/7+63/7=200/7≈ 28.57이다. 두 길이 일치하고, 3 4/7은 보기들의 한가운데에 놓이므로 (C)가 자연스럽다.

💡핵심 정리

모든 것을 격자에 올리고, 직각삼각형으로 대각선 걷기를 잰 다음, 길이가 같은 두 경로를 같다고 놓고 미지수를 풀면 된다.

장면을 격자에 올리기
서쪽 길 재기
동쪽 길 재기
두 길을 같다고 놓고 풀기

장면을 격자에 올리기

서쪽 길 재기

동쪽 길 재기

두 길을 같다고 놓고 풀기

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