AMC 10 · 2025 · #7

학년 8 geometry-2d

유형 Path Length Comparison & Shortest Path └ 세부 유형 Sum Known Path Segments

pythagorean-theoremcoordinate-geometrylinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

동서 방향으로 뻗은 울타리에 잠긴 문이 하나 있고, 프랜시스는 그 잠긴 문에서 정남쪽으로 $15$ 미터 떨어진 지점에 서 있다. 울타리 바로 뒤에는 초콜릿 상자가 있는데, 이 상자는 잠긴 문에서 동쪽으로 $x$ 미터 떨어진 곳에 놓여 있다. 잠기지 않은 문 하나가 상자에서 동쪽으로 $9$ 미터 떨어진 곳에 있고, 또 다른 잠기지 않은 문 하나가 잠긴 문에서 서쪽으로 $8$ 미터 떨어진 곳에 있다. 프랜시스는 잠기지 않은 문 중 하나를 향해 걸어가 그 문을 통과한 뒤 상자를 향해 걸어가서 상자에 도달할 수 있다. 그런데 두 잠기지 않은 문 중 어느 쪽을 이용하든 프랜시스가 이동하는 총 거리가 같다고 한다. $x$ 의 값은 얼마인가?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$3 \frac{2}{7}$

(B)

$3 \frac{3}{7}$

(C)

$3 \frac{4}{7}$

(D)

$3 \frac{5}{7}$

(E)

$3 \frac{6}{7}$

AMC 10 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이는 먼저 직접 풀어본 뒤에 보는 게 가장 효과적이에요.

보기 방식:

도구 + CCSS 풀이

이해

문제 재정리: 프랜시스는 동서로 뻗은 울타리에 있는 잠긴 문에서 정남쪽으로 15 m 떨어진 곳에 서 있다. 상자는 울타리 선 위, 잠긴 문에서 동쪽으로 $x$ m 지점에 있다. 열린 문 하나는 상자에서 동쪽으로 9 m, 또 다른 열린 문 하나는 잠긴 문에서 서쪽으로 8 m 떨어져 있다. 프랜시스는 상자에 가려고 열린 문 하나로 곧장 걸어가 통과한 뒤 상자로 곧장 걸어간다. 두 열린 문 어느 쪽으로 가도 총 걷는 거리가 같다. $x$를 구하라.

주어진 것: 프랜시스는 잠긴 문에서 정남쪽으로 15 m 떨어져 있고 울타리는 동서로 뻗어 있으므로, 프랜시스에서 울타리로 가는 선은 울타리와 수직이다.; 상자는 잠긴 문에서 동쪽으로 $x$ m 떨어져 있다.; 동쪽 열린 문은 상자에서 동쪽으로 9 m, 서쪽 열린 문은 잠긴 문에서 서쪽으로 8 m 떨어져 있다.; 동쪽 문을 지나는 길과 서쪽 문을 지나는 길의 총 거리가 같다.

구하는 것: 잠긴 문에서 상자까지의 거리 $x$.

이해

계획

주요 도구: #1 그림 그리기

보조 도구: #7 작은 문제로 쪼개기, #4 변수 도입하기, #13 대수로 바꾸기

이 장면은 온통 위치와 경로에 관한 것이므로, 먼저 격자 위에 그려 보는 것이 첫걸음이다. 그러면 울타리 정남쪽에 있는 프랜시스가 각 문을, 세로 변이 15 m인 직각삼각형의 꼭대기에서 바라본다는 사실이 드러난다. 그 덕분에 각 대각선 걷기가 피타고라스 길이가 된다. 그다음 상자까지의 거리를 $x$로 두고 각 길의 총 길이를 쓴 뒤, 둘을 같다고 놓고 나온 방정식을 풀면 된다.

실행 — 정답: C

#1 그림 그리기 6.NS.C.8 단계 1

장면을 격자에 올리기

잠긴 문을 원점에 두고 동쪽을 $x$ 양의 방향, 북쪽을 $y$ 양의 방향으로 삼자.
그러면 프랜시스는 $(0,-15)$, 상자는 $(x,0)$, 서쪽 열린 문은 $(-8,0)$, 상자에서 동쪽으로 9 m인 동쪽 열린 문은 $(x+9,0)$에 있다.
프랜시스가 울타리 정남쪽에 있으므로, 프랜시스에서 울타리 위 어떤 점으로 올라가는 선분은 울타리와 직각을 이룬다.

F=(0,-15),\; \text{상자}=(x,0),\; W=(-8,0),\; E=(x+9,0)

💡 모든 물체를 좌표에 고정하면 울타리에 숨어 있던 직각들이 한눈에 보인다.

#7 작은 문제로 쪼개기 8.G.B.7 단계 2

서쪽 길 재기

서쪽으로 가면 프랜시스는 먼저 $(0,-15)$에서 서쪽 문 $(-8,0)$까지 걷는다.
이 대각선은 두 변이 8(동서)과 15(남북)인 직각삼각형의 빗변이므로, 피타고라스 정리에 의해 $\sqrt{8^2+15^2}=\sqrt{289}=17$이다.
서쪽 문에서 그녀는 울타리를 따라 동쪽으로 상자까지 걷는데, 그 거리는 $x+8$이다.
따라서 서쪽 길의 총합은 $17+(x+8)=x+25$이다.

\sqrt{8^2+15^2}=17,\quad \text{서쪽 총합}=17+(x+8)=x+25

💡 8-15-17 직각삼각형 덕분에 대각선 걷기가 그냥 더하면 되는 정수 길이로 바뀐다.

#4 변수 도입하기 6.EE.B.6 단계 3

동쪽 길 재기

동쪽으로 가면 프랜시스는 $(0,-15)$에서 동쪽 문 $(x+9,0)$까지 걷는다.
이 대각선은 두 변이 $x+9$(동서)와 15(남북)이므로, 그 길이는 $\sqrt{(x+9)^2+15^2}=\sqrt{(x+9)^2+225}$이다.
동쪽 문에서 그녀는 울타리를 따라 서쪽으로 상자까지 걷는데, 그 거리는 9이다.
따라서 동쪽 길의 총합은 $\sqrt{(x+9)^2+225}+9$이다.

\text{동쪽 총합}=\sqrt{(x+9)^2+225}+9

💡 모르는 변을 $x+9$로 쓰면 같은 직각삼각형 아이디어가 대수식을 실어 나른다.

#13 대수로 바꾸기 8.EE.C.7 단계 4

두 길을 같다고 놓고 풀기

두 총합이 같으므로 $x+25=\sqrt{(x+9)^2+225}+9$이다.
9를 옮기면 $x+16=\sqrt{(x+9)^2+225}$가 되고, 양변을 제곱하면 $x^2+32x+256=(x+9)^2+225=x^2+18x+306$이다.
$x^2$이 소거되어 $32x+256=18x+306$이 남으므로 $14x=50$, 따라서 $x=\tfrac{50}{14}=\tfrac{25}{7}=3\tfrac{4}{7}$이다.
이는 보기 (C)이다.

$$x+16=\sqrt{(x+9)^2+225}\;\Rightarrow\;14x=50\;\Rightarrow\;x=\tfrac{25}{7}=3\tfrac{4}{7}$$

💡 제곱하기 전에 제곱근을 한쪽으로 몰아 두면 대수가 깔끔해지고, $x^2$ 항이 알맞게 사라진다.

[1] #1 6.NS.C.8 잠긴 문을 원점에 두고 동쪽을 $x$ 양의 방향, 북쪽을 $y$ 양의 방향으로 삼자. 그러면 프랜시스는 $(0,-15)$, 상자는 $(x,0)$

[2] #7 8.G.B.7 서쪽으로 가면 프랜시스는 먼저 $(0,-15)$에서 서쪽 문 $(-8,0)$까지 걷는다. 이 대각선은 두 변이 8(동서)과 15(남북)인 직각삼

[3] #4 6.EE.B.6 동쪽으로 가면 프랜시스는 $(0,-15)$에서 동쪽 문 $(x+9,0)$까지 걷는다. 이 대각선은 두 변이 $x+9$(동서)와 15(남북)이므로

[4] #13 8.EE.C.7 두 총합이 같으므로 $x+25=\sqrt{(x+9)^2+225}+9$이다. 9를 옮기면 $x+16=\sqrt{(x+9)^2+225}$가 되고,

검토

합리성 확인: $x=\tfrac{25}{7}$을 다시 넣어 보자. 서쪽 길: $x+25=\tfrac{25}{7}+25=\tfrac{200}{7}\approx 28.57$. 동쪽 길: $x+9=\tfrac{88}{7}$이므로 대각선은 $\sqrt{(88/7)^2+225}=\sqrt{7744/49+11025/49}=\sqrt{18769/49}=\tfrac{137}{7}$이고, 여기에 9를 더하면 $\tfrac{137}{7}+\tfrac{63}{7}=\tfrac{200}{7}\approx 28.57$이다. 두 길이 일치하고, $3\tfrac{4}{7}$은 보기들의 한가운데에 놓이므로 (C)가 자연스럽다.

대안 접근: 좌표를 쓰지 않고 두 직각삼각형으로 곧장 따질 수도 있다. 서쪽 변 8과 높이 15가 8-15-17 삼각형을 이루므로 서쪽 길은 $17+x+8$이고, 동쪽 길은 $\sqrt{(x+9)^2+15^2}+9$이다. 둘을 같다고 놓으면 같은 방정식 $14x=50$이 나와 $x=\tfrac{25}{7}$을 얻는다.

사용된 CCSS 표준 (최저 학년 8)

6.NS.C.8 Solve real-world problems by graphing points in all four quadrants (프랜시스, 상자, 두 열린 문을 좌표로 놓아 울타리에서의 직각이 보이도록 하는 데 사용.)
8.G.B.7 Apply the Pythagorean theorem to determine unknown side lengths in right triangles (세로 변이 15인 직각삼각형의 빗변으로서 각 문까지의 대각선 걷기 거리를 구하는 데 사용.)
6.EE.B.6 Use variables to represent numbers and write expressions to solve problems (상자까지의 거리를 $x$로 두고 각 길의 총 길이를 $x$에 대한 식으로 쓰는 데 사용.)
8.EE.C.7 Solve linear equations in one variable (두 길의 길이를 같다고 놓고 제곱근을 없앤 뒤 $14x=50$을 풀어 $x$를 구하는 데 사용.)

⭐ 모든 것을 격자에 올리고, 직각삼각형으로 대각선 걷기를 잰 다음, 길이가 같은 두 경로를 같다고 놓고 미지수를 풀면 된다.