AMC 10 · 2002 · #1

학년 8 arithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

polynomial-factoringvieta-formulas convert-to-algebra ↑ 선수 지식: polynomial-factoring

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6)=0을 만족하는 모든 x 값의 합을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{7}{2}$

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

모두 전개하는 대신 좌변의 모양을 보자: (2x+3) 곱하기 어떤 것 더하기 (2x+3) 곱하기 또 다른 것이다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 전개하지 말고 이 구조를 읽으라고 한다. 공통 인수 (2x+3)을 밖으로 묶어낼 수 있기 때문이다. 0이 되는 곱의 꼴로 인수분해되면 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 이어받는다: 곱이 0이 되는 것은 인수 중 하나가 0일 때뿐이므로, 어려운 방정식 하나가 쉬운 일차방정식 두 개로 갈라진다. 각각을 풀어 근을 하나씩 구한 뒤 그 근들을 더한다.

1STEP 1

공통 인수 묶어내기

두 항이 (2x+3)을 공유하므로 묶어내면 괄호는 2x-10이 되어 (2x+3)(2x-10)=0.

(2x+3)(x-4)+(2x+3)(x-6) = (2x+3)[(x-4)+(x-6)] = (2x+3)(2x-10) = 0

2STEP 2

두 일차방정식으로 나누기

곱이 0이려면 한 인수가 0이어야 한다: 2x+3=0에서 x=-3/2, 2x-10=0에서 x=5.

2x+3=0 → x=-3/2, 2x-10=0 → x=5

3STEP 3

두 근을 더하기

두 근을 통분해 더하면 -3/2+10/2 = 7/2, 보기 (A).

-3/2+5 = -3/2+10/2 = 7/2 → (A)

정답

7/2

두 근은 -1.5와 5이고 -1.5+5=3.5=7/2로 보기 (A)와 일치한다. 크기로 확인해 보면 부호도 맞는다: 한 근은 작은 음수이고 다른 근은 5이므로 그 합은 5보다 조금 작아야 하는데, 3.5가 바로 그 자리에 놓인다. 이 방정식은 이차식(x²이 최고차항)이므로 근이 두 개인 것이 맞고, 빠뜨린 세 번째 근은 없다. 보기 (D) 7은 각 인수에서 2로 나누는 것을 잊은 사람을 위한 함정이다.

💡핵심 정리

두 항이 공통 인수를 가지면 먼저 그것을 묶어내라 — 0이 되는 곱은 각 인수마다 쉬운 방정식 하나로 문제를 쪼개 준다.

공통 인수 묶어내기
두 일차방정식으로 나누기
두 근을 더하기

공통 인수 묶어내기

두 일차방정식으로 나누기

두 근을 더하기

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