AMC 10 · 2002 · #14

학년 11 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

logarithm-propertiesexponentsprime-factorization pattern-recognition ↑ 선수 지식: logarithm-properties

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

양의 정수에서 정의된 함수가 f(n) = log₂₀₀₂ n²로 주어집니다. 이 함수의 값 세 개를 더해 N = f(11) + f(13) + f(14)를 만듭니다. N이 1, 2와 비교했을 때 어떤 관계를 만족하는지 판단하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

N<1

(B)

N=1

(C)

1<N<2

(D)

N=2

(E)

N>2

풀이 과정

전략 패턴 찾기

f(11), f(13), f(14)는 각각 지저분한 무리수여서 하나씩 계산해서는 어디에도 이르지 못합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 문제를 다시 짭니다: 로그 세 개를 따로 구하는 대신, 밑이 같은 로그는 안의 수를 곱해서 더해진다는 사실을 써서 그 셋이 합쳐진 로그 하나를 구합니다. 그러면 질문은 산수 문제로 바뀝니다 — 11 · 13 · 14는 얼마인가? 그리고 도구 #5(패턴 찾기)는 그 답이 밑 자신일 것이라고 의심하게 만드는 도구입니다. 대회 문제는 이런 입력을 일부러 고르기 때문입니다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 검토 단계에서 쓰는 지수 형태의 두 번째 경로를 제공합니다.

1STEP 1

세 입력에서 f 값 구하기

대입하면 밑 2002를 공유하는 로그 셋이 나온다; 각각은 무리수이므로 합쳐야 한다.

N = log₂₀₀₂ 11² + log₂₀₀₂ 13² + log₂₀₀₂ 14²

2STEP 2

로그를 하나로 합치기

밑이 같은 로그는 진수를 곱해 더하므로 N = log₂₀₀₂(11² · 13² · 14²).

N = log₂₀₀₂(11² · 13² · 14²)

3STEP 3

하나의 제곱으로 다시 묶기

인수 순서를 바꾸면 세 제곱이 하나가 된다: (11 · 13 · 14)².

11² · 13² · 14² = (11 · 13 · 14)²

4STEP 4

세 입력 곱하기

산수가 핵심이다: 11 · 13 · 14 = 2002, 바로 밑과 같다.

11 · 13 · 14 = 143 · 14 = 2002 = 2 · 7 · 11 · 13

5STEP 5

로그 값 읽어 내기

따라서 N = log₂₀₀₂(2002²) = 2, 정확히 2이며 보기 (D).

N = log₂₀₀₂(2002²) = 2

정답

N=2

소수 확인이 결과를 뒷받침합니다: f(11) ≈ 0.6309, f(13) ≈ 0.6748, f(14) ≈ 0.6943이고, 이들의 합은 소수 넷째 자리까지 2.0000입니다. 다만 이 확인이 무엇을 할 수 있고 무엇을 할 수 없는지는 분명히 해야 합니다 — 참값이 1.9999(선택지 C)이거나 2.0001(선택지 E)이었어도 소수는 거의 똑같아 보였을 것이므로, 어림은 뒷받침일 뿐 증명이 아닙니다. 결론을 확정 짓는 것은 정확한 등식 11 · 13 · 14 = 2002이고, 이 덕분에 앞의 논증은 근사가 아니라 빈틈이 없습니다. 크기도 납득이 갑니다: 12³ = 1728, 13³ = 2197이므로 11, 13, 14는 대략 2002의 세제곱근 근처이고, 따라서 각 f(n) = log₂₀₀₂ n²는 2/3 근처, 셋을 더하면 2 근처가 됩니다.

💡핵심 정리

밑이 같은 로그는 안의 수를 곱하면서 더해진다 — 그러니 밑이 2002인 문제가 11, 13, 14를 건네주면 일단 곱해 보라.

세 입력에서 f 값 구하기
로그를 하나로 합치기
하나의 제곱으로 다시 묶기
세 입력 곱하기
로그 값 읽어 내기

세 입력에서 f 값 구하기

로그를 하나로 합치기

하나의 제곱으로 다시 묶기

세 입력 곱하기

로그 값 읽어 내기

비슷한 유형 더 풀어보기