AMC 10 · 2002 · #15
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
문제는 한 수가 가질 수 있는 최댓값을 묻는데, 이것이 바로 도구 #14(극단의 원리)가 쓰이는 상황이다. 한 수를 최대로 밀어 올리려면, 규칙이 허락하는 한 나머지 수들을 모두 가장 작은 값으로 내려야 한다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그림을 고정한다 — 가장 큰 수를 L이라 하면 범위로부터 가장 작은 수는 L-8이다. 도구 #6(추측하고 확인하기)이 마무리를 맡는다. 합이 64로 고정된 상태에서 상위 선택지들을 시험해 유효한 모음을 만들거나 불가능함을 보이면 된다. 최빈값 조건이 제동을 건다 — 8이 다른 무엇보다 더 많이 나타나야 하므로 작은 수들이 전부 아주 작아질 수는 없다.
네 가지 단서를 수의 사실로 바꾸기
단서를 사실로 읽는다: 여덟 수의 합은 64이고 최댓값 빼기 최솟값은 8이다.
평균·최빈값·범위라는 말은 결국 여덟 수에 대한 단순한 진술이므로, 풀어 쓰면 퍼즐이 산수가 된다.
6.SP.B.5Introduce A Variable가장 큰 수를 최대한 높이 겨냥하기
최댓값 L을 올리려면 나머지를 최소로 한다; 범위 조건이 최솟값을 L-8로 고정한다.
합이 고정된 것은 예산이 고정된 것과 같아서, 다른 수에 덜 쓸수록 크게 만들고 싶은 수에 더 많은 여유가 남는다.
평균이 전체 합을 붙들어 두므로, 다른 수에 적게 쓰는 것이 큰 수 하나를 위한 자리를 남긴다.
▸ 왜?
평균은 전체를 고르게 나눈 것이므로 전체 합은 평균 곱하기 개수이며 움직일 수 없다.
▸ 왜?
그 고정된 합은 여덟 수를 더한 것이므로, 나머지가 가져가지 않은 만큼이 정확히 가장 큰 수의 몫이다.
가장 큰 선택지 15 시험하기
L이 15면 나머지 일곱의 합이 49이고 각각 7 이상이라 모두 7이 되어 최빈값이 7, 8이 아니다.
각각 적어도 7인 일곱 수가 정확히 49가 되어야 하면 여유가 전혀 없으므로 모두 7에 못 박힌다.
6.EE.B.5Guess And Check가장 큰 수가 14인 모음 만들기
L = 14이면 6,6,6,8,8,8,8,14가 평균·중앙값·최빈값·범위를 모두 8로 만족한다.
8을 잔뜩 넣어 최빈값을 확보하고 나머지는 규칙상 가장 작은 값을 쓰면, 총합에서 정확히 14를 만들 만큼이 남는다.
6.SP.B.5Guess And Check비교하고 결론짓기
15는 불가능하고 14는 실제로 만들어지므로 가능한 최댓값은 14, 보기 (D).
최댓값은 어떤 규칙도 깨지 않고 실제로 만들 수 있는 가장 큰 값이다.
6.SP.B.5Extreme Principle합이 고정된 상태에서 한 수를 최대한 크게 만들려면, 규칙이 허락하는 한 나머지 수를 전부 가장 작게 눌러라 — 그런 다음 가장 큰 선택지가 실제로 만들어지는지 확인하라.
- 네 가지 단서를 수의 사실로 바꾸기
- 가장 큰 수를 최대한 높이 겨냥하기
- 가장 큰 선택지 15 시험하기
- 가장 큰 수가 14인 모음 만들기
- 비교하고 결론짓기
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