AMC 10 · 2002 · #17
학년 5 number-theory답을 골라 클릭하세요.
"가장 작은"이라는 말은 도구 #14(극단의 원리)를 부르는 신호이고, 최솟값 문제는 언제나 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 부분으로 갈린다. 어떤 집합도 내려갈 수 없는 바닥을 증명하고, 그 바닥에 정확히 앉는 집합을 하나 제시하는 것이다. 바닥은 도구 #15(다르게 정리하기)가 만들어 준다. 집합을 수의 목록으로 보는 대신 아홉 개의 숫자로 보고 각 숫자에 자리값만큼의 값을 매기면, 문제는 "어떤 숫자가 소수의 끝자리가 될 수 없는가"로 바뀐다. 마무리는 도구 #6(추측하고 확인하기)이다. 그 값을 정확히 치르는 실제 소수 집합을 만들어야 하며, 그것이 없으면 바닥은 한계일 뿐 답이 아니다.
합을 자리값으로 다시 쓰기
총합은 각 숫자에 자리값을 곱한 값이므로, 숫자를 최대한 오른쪽으로 밀어야 한다.
숫자를 왼쪽으로 한 자리 옮기면 그 숫자가 더하는 양이 열 배가 되므로, 값이 싼 합은 숫자를 규칙이 허락하는 한 오른쪽에 둔다.
숫자는 한 자리 왼쪽으로 가면 열 배의 값이 되므로, 합을 작게 하려면 규칙이 허락하는 한 모든 숫자를 오른쪽에 두어야 한다.
▸ 왜?
각 자리는 오른쪽 자리 열 개를 묶은 것이므로, 숫자를 왼쪽으로 옮기면 그 몫이 열 배가 된다.
▸ 왜?
합은 모든 숫자의 자리 값이 함께 이루는 것이므로, 숫자마다 따로 값을 매길 수 있다.
세 숫자는 소수의 끝이 될 수 없다
소수는 4, 6, 8로 끝나지 않고 홀로 소수도 아니므로 이 셋은 최소 십의 자리를 차지한다.
끝자리가 짝수면 수 전체가 짝수가 되고 짝수인 소수는 2뿐이므로, 이 세 숫자는 무슨 수를 써도 왼쪽으로 밀려난다.
4.OA.B.4Extreme Principle바닥 더하기: 207
모든 곳에 최솟값을 매기면 180 + 27 = 207이라는, 어떤 집합도 못 넘는 하한이 나온다.
모든 숫자에 법이 허락하는 가장 싼 자리를 매겨 더하면, 아무것도 그 아래로 빠져나갈 수 없는 총합이 나온다.
4.NBT.B.4Extreme Principle예시로 바닥에 내려앉기
집합 {41, 67, 89, 2, 3, 5}는 모두 소수이고 각 숫자를 한 번씩 써서 합이 207, 보기 (B).
하한은 그것과 정확히 일치하는 집합을 하나 보이는 순간 진짜 최솟값이 된다.
4.OA.B.4Guess And Check가장 작은 값을 찾으려면 먼저 아무것도 내려갈 수 없는 바닥을 증명하고, 그다음 그 바닥에 정확히 내려앉는 예시를 하나 만들어라.
- 합을 자리값으로 다시 쓰기
- 세 숫자는 소수의 끝이 될 수 없다
- 바닥 더하기: 207
- 예시로 바닥에 내려앉기
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