AMC 10 · 2002 · #3

학년 6 arithmetic

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Numeric Operation Tree

exponentsorder-of-operations systematic-enumeration ↑ 선수 지식: order-of-operationsexponents

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

2 네 개를 쌓은 2^{2^{2²}}는 지수를 오른쪽에서 왼쪽으로 묶는 표준 순서로 계산하면 65536이 된다. 괄호를 다른 모든 가능한 순서로 넣었을 때, (주어진 값을 빼고) 서로 다른 값이 몇 개나 나올 수 있는지 세어라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"값이 몇 개나 가능한가"는 작고 유한한 배열들을 대상으로 하는 세기 문제이므로, Tool #2(빠짐없이 나열하기)가 뼈대가 된다: 네 개짜리 탑을 괄호로 묶는 방법은 몇 가지뿐이고, 그것을 모두 적어 두면 빠뜨리거나 겹쳐 세는 일이 없다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 계산을 안전하게 해 준다 — 각 묶음을 가장 안쪽 괄호부터 바깥으로 한 번에 하나의 작은 거듭제곱씩 계산하므로, 어떤 단계도 두 자리 수를 제곱하는 것보다 커지지 않는다. Tool #3(가능성 지우기)이 마무리를 짓는다: 결과를 나열한 뒤 겹치는 값과 원래 값을 지우면, 남는 것이 문제가 원하는 개수다.

1STEP 1

괄호 묶는 방법을 모두 나열하기

네 층 탑의 괄호 묶기는 정확히 다섯 가지다; 계산 전에 다섯 개를 모두 적는다.

2^{(2^{(2²)})}, 2^{((2²)²)}, (2²)^{(2²)}, ((2²)²)², (2^{(2²)})²

2STEP 2

각 식을 안쪽부터 계산하기

가장 안쪽부터 계산하면 65536, 65536, 256, 256, 256이 나온다.

65536, 65536, 256, 256, 256

3STEP 3

겹치는 값과 원래 값 지우기

서로 다른 값은 둘뿐이고, 주어진 65536을 빼면 새 값은 1개, 보기 (B).

{65536, 256}∖{65536}={256} → 다른 값 1개 → (B)

정답

탑을 괄호로 묶는 방법은 다섯 가지뿐이고 그중 하나가 주어진 식이므로, 다른 값은 많아야 4개까지만 존재할 수 있다 — 개수는 0과 4 사이여야 하고, 이는 선택지 범위와 맞는다. 256 ≠ 65536이 실제로 다른 값이 나타남을 보여 주므로 0일 수는 없다. 새로운 값이 정확히 하나라는 것은 그럴듯하다: 2의 탑은 두 크기로만 줄어들기 때문이다 — 16이 지수 자리로 올라가면 거대한 2¹⁶=65536, 마지막 단계가 제곱이면 적당한 256. 두 크기에서 원래 값을 빼면 하나가 남는다.

💡핵심 정리

괄호가 지수 계산의 순서를 정하고, 2 네 개짜리 탑은 65536 아니면 256, 두 크기로만 줄어들기 때문에 주어진 값 말고는 다른 값이 딱 하나뿐이다.

괄호 묶는 방법을 모두 나열하기
각 식을 안쪽부터 계산하기
겹치는 값과 원래 값 지우기

괄호 묶는 방법을 모두 나열하기

각 식을 안쪽부터 계산하기

겹치는 값과 원래 값 지우기

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