AMC 10 · 2003 · #22

학년 7 probability

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Constrained Sequence or Path Count

combinations-basiclattice-pathsprobability-basic invariant-monovariantidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basic

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 물체가 동시에 한 턴에 한 걸음씩 움직이고, 각 걸음의 길이는 1이다. 물체 A는 (0,0)에서 출발하며 각 걸음은 오른쪽 또는 위쪽으로, 각각 확률 1/2이다. 물체 B는 (5,7)에서 출발하며 각 걸음은 왼쪽 또는 아래쪽으로, 각각 확률 1/2이다. 두 물체가 같은 시각에 같은 점에 있게 될 확률을 구하고, 주어진 값 중 어느 것에 가장 가까운지 답하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

0.10

(B)

0.15

(C)

0.20

(D)

0.25

(E)

0.30

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

'만난다'는 사건은 끝없이 많은 턴에 걸쳐 있는 것처럼 보이므로, 첫 번째 할 일은 그 범위를 줄이는 것이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 s=x+y라는 양을 제공한다. 이 값은 매 턴 A에 대해 정확히 1 커지고 B에 대해 정확히 1 작아지므로, 만남이 오직 6번째 턴에만 가능함을 증명해 준다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 그 한 턴을 만남 지점별로 서로 겹치지 않는 몇 개의 경우로 나누어, 확률을 뒤엉킨 계산 대신 덧셈으로 바꾼다. 도구 #1(그림 그리기)은 그 점들을 직선 x+y=6 위에 놓고 그중 B가 실제로 닿을 수 있는 점을 보여 준다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 덧셈 규칙으로 각 점까지의 여섯 걸음 경로 수를 세며, 한 줄의 합 64=2⁶이 자체 검산 역할을 한다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 검토 단계에서 다시 등장하는데, 만나는 두 경로를 하나의 긴 경로로 다시 읽으면 같은 개수를 단번에 얻는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 마지막으로 정확한 분수를 다섯 개의 소수와 견주는 값싼 일을 맡는다.

1STEP 1

x+y를 시계로 삼기

좌표의 합이 시계 역할을 한다: 한쪽은 오르고 한쪽은 내려 만남은 6턴에만 가능하다.

s(x,y)=x+y; t턴 뒤 s_A=t, s_B=12-t; t=12-t⇔ t=6

2STEP 2

여섯 번째 칸에서 닿을 수 있는 점 나열하기

그 턴에 좌표를 맞추면 가능한 만남 지점은 정확히 여섯 곳이다.

A는 (i,6-i), B는 (5-j,1+j); 일치 ⇔ j=5-i이고 0 ≤ i ≤ 5. 만남 지점: (0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)

3STEP 3

여섯 걸음 경로 세기

여섯 걸음 경로의 개수는 이항 행 1,6,15,20,15,6,1이고 합은 64다.

c₀,c₁,…,c₆=1,6,15,20,15,6,1이고 Σ_k=0⁶c_k=64=2⁶

4STEP 4

개수를 똑같이 일어날 법한 결과로 바꾸기

독립이므로 모든 경로 쌍이 균등해 결과는 4096가지다.

P(만남)=(#{같은 점에서 끝나는 경로 쌍})/(2⁶ · 2⁶)=#/4096

5STEP 5

겹치지 않는 여섯 경우 더하기

겹치지 않는 여섯 경우를 더하면 유리한 쌍은 792, 곧 99/512이다.

P=(Σ_i=0⁵c_i c₅-i)/4096=(6+90+300+300+90+6)/4096=792/4096=99/512

6STEP 6

반올림하고 고르기

이는 약 0.1934로 0.20에 가장 가깝다, 보기 (C).

99/512=0.193359375; |0.193359-0.20|=0.00664로 다른 어떤 차이보다 작다 →(C)

정답

0.20

서로 독립적인 검산이 세 가지 있다. 첫째, 여섯 경우의 수 6,90,300,300,90,6은 앞에서 읽으나 뒤에서 읽으나 같다. 이는 당연한데, i를 5-i로 바꾸면 두 인수 c_i와 c₅-i가 자리를 맞바꿀 뿐 곱은 변하지 않기 때문이다. 즉 우연이 아니라 구조에서 나오는 대칭이다. 둘째, 크기 어림: 만약 B가 (6,6)에서 출발했다면 6턴에서의 만남 조건은 i=j가 되어 유리한 쌍이 Σ_i c_i²=924개, 확률은 924/4096≈ 0.226이 된다. (5,7)에서 출발하면 두 분포가 한 칸 어긋나므로 확률이 조금 낮아져야 하는데, 0.193은 실제로 조금 낮으므로 크기가 맞다. 셋째, 턴 계산: 7턴 뒤 A는 x+y=7 위에, B는 x+y=5 위에 있고 그 차이는 벌어지기만 하므로 6턴만 살핀 것으로 잃은 것이 없다. 마지막 비교도 아슬아슬하지 않다. 차점 보기 0.15는 승자의 차이보다 여섯 배 넘게 빗나가므로, 소수 전개의 반올림 오차가 답을 뒤집을 수 없고 답은 (C)이다.

💡핵심 정리

두 좌표를 더해 시계로 삼으면 두 보행자가 같은 높이에 설 수 있는 단 하나의 턴이 보이고, 그 뒤로는 여섯 글자 낱말을 세는 일만 남는다.

x+y를 시계로 삼기
여섯 번째 칸에서 닿을 수 있는 점 나열하기
여섯 걸음 경로 세기
개수를 똑같이 일어날 법한 결과로 바꾸기
겹치지 않는 여섯 경우 더하기
반올림하고 고르기

x+y를 시계로 삼기

여섯 번째 칸에서 닿을 수 있는 점 나열하기

여섯 걸음 경로 세기

개수를 똑같이 일어날 법한 결과로 바꾸기

겹치지 않는 여섯 경우 더하기

반올림하고 고르기

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