AMC 10 · 2002 · #4

학년 7 geometry-2d
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Direct Ratio Scale-Up
complementary-anglessupplementary-angleslinear-equations-one-var convert-to-algebra ↑ 선수 지식: complementary-anglessupplementary-angles
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
어떤 각의 크기가 있습니다. 이 각의 여각 — 90°에서 그 각을 뺀 나머지 — 이 이 각의 보각의 25%가 됩니다. 보각은 180°에서 같은 각을 뺀 나머지입니다. 이 각의 크기를 도 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
48
(B)
60
(C)
75
(D)
120
(E)
150
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

이 문제 전체는 미지의 각 하나에 대한 한 문장이고, 그 안의 모든 표현("여각", "보각", "이다", "~의 25%")에는 정확한 대수적 번역이 있습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기)이 그 문장을 일차방정식 하나로 바꿉니다. 도구 #4(변수 도입하기)는 그 번역을 가능하게 하는 이름 붙이기를 담당합니다: 각을 x라고 부르는 순간, 여각과 보각은 용어가 아니라 90 - x와 180 - x라는 식이 됩니다. 그다음 도구 #6(추측하고 확인하기)은 정직한 방식으로 쓰입니다 — 답을 찾으려고 헤매는 것이 아니라, 구한 값을 원래 문장에 다시 넣어 확인하는 것입니다. 피해야 할 함정은 한 단계 일찍 멈춰서 각 대신 보각을 답하는 것입니다.

1STEP 1

각과 그 짝들에 이름 붙이기

각을 x라 하면 여각은 90 - x, 보각은 180 - x이다.

여각 = 90 - x, 보각 = 180 - x
2STEP 2

퍼센트를 방정식으로 바꾸기

25%는 4분의 1이므로 90 - x = 1/4(180 - x); 4를 곱하면 4(90 - x) = 180 - x.

90 - x = 1/4(180 - x) ⟺ 4(90 - x) = 180 - x
3STEP 3

각 구하기

전개하면 360 - 4x = 180 - x, 정리하면 180 = 3x, 따라서 x = 60.

360 - 4x = 180 - x → 180 = 3x → x = 60
4STEP 4

문장에 넣어 확인하기

확인: 여각 30은 보각 120의 4분의 1이므로 60이 맞다, 보기 (B).

90 - 60 = 30, 180 - 60 = 120, 1/4 × 120 = 30
정답
60
두 가지 확인이 일치합니다. 직접 대입: 60°일 때 여각은 30°, 보각은 120°이고, 30은 정확히 120의 4분의 1입니다. 구조적 확인: 어떤 각이든 보각은 여각보다 항상 정확히 90° 크며, 이는 (180 - x) - (90 - x) = 90이기 때문입니다. 여기서도 120 - 30 = 90으로 맞습니다. 오답 선택지도 읽힙니다: 120(선택지 D)은 이 각의 보각이고, 150(선택지 E)은 180 - 30, 즉 여각의 보각입니다. 둘 다 90°보다 크므로 애초에 답이 될 수 없습니다 — 90°보다 큰 각에는 이야기할 여각이 없기 때문입니다.
💡핵심 정리

모르는 각에 이름을 붙이고 "여각"과 "보각"이 그 이름으로 무엇인지 쓰면 문장이 곧바로 풀 수 있는 방정식이 된다 — 그리고 문제를 다시 읽어 보각이 아니라 각을 답하는지 확인하라.

  • 각과 그 짝들에 이름 붙이기
  • 퍼센트를 방정식으로 바꾸기
  • 각 구하기
  • 문장에 넣어 확인하기

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