AMC 10 · 2002 · #15

학년 7 number-theory
유형 Multiplicative Ratio with Integrality Constraints └ 세부 유형 Integrality / Divisibility Screen
place-valuedigit-decompositionlinear-equations-two-var convert-to-algebrabound-inequality-then-enumerate ↑ 선수 지식: place-valuedigit-decomposition
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
네 자리 수에서 맨 앞 숫자를 지우면 세 자리 수가 남는다. 남은 세 자리 수가 원래 수의 정확히 9 분의 1이 되는 네 자리 수가 몇 개인지 센다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
7
(E)
8
풀이 과정
전략 대수로 바꾸기

숫자를 하나 잘라내는 일은 기호를 다루는 조작처럼 들리지만, 십진법에서는 그냥 뺄셈이다. 네 자리 수의 맨 앞 숫자 a 를 지우면 정확히 1000a 가 사라진다. 도구 #13 (대수로 바꾸기)이 이 문장을 식으로 옮긴다. 도구 #4 (변수 도입하기)는 네 자리 숫자를 따로따로 두는 대신 맨 앞 숫자와 세 자리 꼬리 전체, 두 개의 미지수만 써서 계산을 가볍게 유지한다. 이어서 도구 #14 (극단의 원리)가 맨 앞 숫자가 어디서 한계에 부딪히는지 찾는다 — 꼬리는 125a 로 강제되고 1000 미만이어야 하기 때문이다. 도구 #2 (빠짐없이 나열하기)로 살아남은 수들을 실제로 적어, 개수를 짐작이 아니라 확인으로 마무리한다.

1STEP 1

숫자 지우기를 뺄셈으로 바꾸기

앞자리를 a, 꼬리를 x라 하면 자리값으로 N = 1000a + x이고 조건은 N = 9x다.

N = 1000a + x, N = 9x
2STEP 2

꼬리를 구하기

같게 놓고 정리하면 x = 125a, 꼬리는 앞자리로 완전히 정해진다.

1000a + x = 9x → 1000a = 8x → x = 125a
3STEP 3

숫자가 한계에 부딪히는 지점 찾기

꼬리가 1000 미만이어야 하므로 125a가 999 이하, 즉 a는 7 이하다.

100 ≤ 125a ≤ 999 → 1 ≤ a ≤ 7
4STEP 4

나열해서 개수 확인하기

a = 1부터 7까지 각각 N = 1125a를 주므로 개수는 7, 보기 (D).

N = 1125a: 1125, 2250, 3375, 4500, 5625, 6750, 7875 → 7 → (D)
정답
7
N = 9x 라는 관계만으로도 범위가 좁혀진다. x 는 세 자리 수이므로 N = 9x 는 900부터 8991까지 움직이고, N 은 네 자리여야 한다. 그것만으로는 N 이 아주 많이 허용되지만, 진짜 힘은 N 의 꼬리가 바로 x 여야 한다는 조건에서 나오고, 그 조건이 N 을 1125의 배수로 못 박는다. 10000 미만의 1125의 배수는 1125, …, 7875 그리고 9000 인데, 9000은 맨 앞의 9를 지우면 000이 남아 세 자리 수가 아니므로 탈락한다. 일곱 개가 살아남으므로 (D)가 맞고, (E) 8은 바로 9000까지 세어 버리는 함정이다.
💡핵심 정리

맨 앞 숫자를 지우는 것은 그 자릿값을 빼는 것뿐이라, "N 의 9 분의 1" 조건이 식이 되어 나머지 수를 강제한다.

  • 숫자 지우기를 뺄셈으로 바꾸기
  • 꼬리를 구하기
  • 숫자가 한계에 부딪히는 지점 찾기
  • 나열해서 개수 확인하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.