AMC 10 · 2002 · #18
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점이 균등하게 뽑히므로 확률은 넓이의 비일 뿐이고, 진짜 할 일은 '원점에 더 가까움'과 '(3,1)에 더 가까움'의 경계를 그려서 그것이 잘라내는 부분을 재는 것이다 — 이것이 도구 #1(그림 그리기)이다. 그 경계를 정확히 찾으려면 도구 #4(변수 도입하기)로 일반적인 점 (x,y)에 이름을 붙이고 두 거리를 쓴 다음, 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 '더 가깝다'는 말을 부등식으로 옮긴다. 거리 대신 거리의 제곱을 비교하면 지저분한 제곱근 비교가 직선 부등식 하나로 바뀌므로, 경계는 직선이 되고 잘린 두 조각은 넓이를 쉽게 구할 수 있는 다각형이 된다. 마지막으로 (3,1) 쪽 조각은 깔끔한 사다리꼴인 반면 원점 쪽 조각은 오각형이므로, 도구 #16(관점 바꾸기)에 따라 쉬운 쪽을 재고 빼면 된다.
점에 이름 붙이고 두 거리 쓰기
거리는 음수가 아니므로 제곱끼리 비교해 근호를 건너뛴다.
음이 아닌 수에서는 제곱이 대소 관계를 그대로 보존하므로, 두 거리의 경쟁은 두 제곱의 경쟁과 같다.
8.G.B.8Introduce A Variable비교를 직선으로 바꾸기
제곱항이 상쇄되어 조건이 직선 3x + y ＜ 5로 줄어든다.
제곱 항이 양쪽에 똑같이 있어 지워지고 일차식만 남는다 — 두 점을 가르는 경계는 언제나 직선이다.
제곱 항이 서로 지워지므로, 두 점을 가르는 경계는 직선이다.
▸ 왜?
두 고정점에서 같은 거리에 있는 점들은 그 사이의 거울선 위에 놓이며, 그 선은 두 점을 잇는 선분과 직각으로 만난다.
▸ 왜?
점이 직사각형에 고르게 흩어지므로, 확률은 이기는 쪽 넓이의 몫일 뿐이다.
직사각형을 가르는 경계 그리기
그 직선은 (5/3, 0)에서 (4/3, 1)까지 직사각형을 가로질러 사다리꼴을 잘라낸다.
경계가 위아래 변과 만나는 곳을 찾으면 직사각형이 어떻게 잘리는지 완전히 정해진다.
6.G.A.3Draw A Diagram더 쉬운 조각 재기
먼 쪽 조각은 넓이 1/2인 사다리꼴로 재기 더 쉽다.
원하지 않는 조각이 단순한 사다리꼴이므로, 그것을 재서 빼는 편이 오각형을 직접 재는 것보다 낫다.
6.G.A.1Change Focus Count The Complement넓이를 확률로 바꾸기
가까운 쪽은 넓이 2 중 3/2이므로 확률은 3/4, 보기 (C).
균등하게 무작위로 점을 고를 때는 넓이가 곧 확률이며, 모양의 다른 성질은 아무 상관이 없다.
7.SP.C.7Change Focus Count The Complement두 고정된 점에서 거리가 같은 점들은 언제나 하나의 직선을 이루므로, '어느 쪽이 더 가까운가' 문제는 직선으로 영역을 자르고 넓이를 비교하는 문제가 된다.
- 점에 이름 붙이고 두 거리 쓰기
- 비교를 직선으로 바꾸기
- 직사각형을 가르는 경계 그리기
- 더 쉬운 조각 재기
- 넓이를 확률로 바꾸기
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