AMC 10 · 2003 · #16

학년 8 geometry-2d
유형 Geometric Probability by Area └ 세부 유형 Area-Proportional Region Probability
area-trianglesgeometric-probabilityequilateral-triangle symmetry-argumentcomplementary-counting ↑ 선수 지식: area-triangles
📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
정삼각형 ABC의 내부에 점 P를 무작위로 하나 찍는다. 모든 위치가 똑같이 나올 수 있다. P를 세 꼭짓점과 이으면 삼각형은 세 개의 작은 삼각형으로 나뉜다. 변 AB 쪽 삼각형의 넓이가 나머지 두 개보다 모두 클 확률을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
$\frac{1}{6}$
(B)
$\frac{1}{4}$
(C)
$\frac{1}{3}$
(D)
$\frac{1}{2}$
(E)
$\frac{2}{3}$
풀이 과정
전략 관점 바꾸기

이기는 영역을 정면으로 재려 하면 성가신 계산이 된다. 도구 #16(관점 바꾸기)은 질문을 두 번 옮기는데, 두 번 모두 실제로 일을 한다. 첫 번째: 세 삼각형은 밑변이 같으므로 넓이를 비교하는 것은 P가 각 변에서 얼마나 멀리 있는지를 비교하는 것과 같다. 문제가 넓이가 아니라 거리의 문제로 바뀐다. 두 번째: 이기는 영역을 재는 대신, 세 영역이 서로 복사본이라는 사실에 주목한다. 그러면 답은 세 영역이 삼각형을 다 채운다는 사실에서 바로 나온다. 도구 #1(그림 그리기)은 세 영역의 경계를 그린다. 도구 #17(공간 상상하기)은 한 영역을 정확히 다음 영역으로 옮기는 120° 회전을 제공한다 — 이것이 "서로 복사본"을 느낌이 아니라 증명으로 만든다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 두 가지 일을 나눈다: 영역을 서술하고, 그다음 크기를 비교한다.

1STEP 1

밑변이 같으면 넓이는 거리 문제가 된다

세 밑변이 같아 공통 인수가 상쇄되고, 가장 큰 삼각형은 P가 가장 먼 변 쪽이다.

[ABP]=1/2s d(P,AB), [BCP]=1/2s d(P,BC), [ACP]=1/2s d(P,CA)
2STEP 2

이기는 세 영역에 이름 붙이기

이기는 세 영역에 이름을 붙인다; 무승부는 직선 위라 확률이 0이다.

P(△ ABP 가 가장 큼)=[W_AB]/[ABC]
3STEP 3

경계를 그려 구역을 확인하기

각의 이등분선이 잘라내는 모서리 영역이 바로 그 변의 이기는 구역이다.

W_AB=사각형 O–M_BC–C–M_CA
4STEP 4

120도 회전이 구역을 돌려 바꾼다

중심에 대한 120도 회전이 각 구역을 다음으로 옮기므로 셋은 합동이다.

120° 회전: W_AB↦ W_BC↦ W_CA↦ W_AB
5STEP 5

전체를 똑같이 셋으로 나눈 몫

같은 세 구역이 삼각형을 채우므로 확률은 1/3, 보기 (C).

3[W_AB]=[ABC] → P=[W_AB]/[ABC]=1/3 → (C)
정답
1/3
좌표로 구역을 직접 재어 확인한다. A=(0,0), B=(1,0), C=(1/2,√(3)/2)로 두면 중심은 O=(1/2,√(3)/6), BC의 중점은 (3/4,√(3)/4), CA의 중점은 (1/4,√(3)/4)이다. 이 사각형에 신발끈 공식을 쓰면 넓이가 √(3)/12이고 [ABC]=√(3)/4이므로 (√(3)/12)/(√(3)/4)=1/3으로 일치한다. 크기도 눈으로 보아 타당하다. 모서리 구역은 제법 큰 덩어리라서 1/6보다는 확실히 크고 삼각형의 절반보다는 확실히 작으므로 (A), (D), (E)는 배제된다.
💡핵심 정리

밑변이 같으므로 가장 큰 삼각형은 P가 가장 멀리 떨어진 변 쪽 삼각형이고, 120° 회전이 '가장 먼' 구역 셋을 서로 옮겨 놓으므로 각 구역은 정확히 삼각형의 삼분의 일이다.

  • 밑변이 같으면 넓이는 거리 문제가 된다
  • 이기는 세 영역에 이름 붙이기
  • 경계를 그려 구역을 확인하기
  • 120도 회전이 구역을 돌려 바꾼다
  • 전체를 똑같이 셋으로 나눈 몫

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