AMC 10 · 2002 · #19

학년 8 algebra
유형 Pair-Sum Invariant └ 세부 유형 Universe Total Minus Known
systems-of-equationssymmetric-polynomialssigned-square-root polynomial-substitutionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: systems-of-equations
📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트
문제
양의 실수 a, b, c 가 a(b+c) = 152, b(c+a) = 162, c(a+b) = 170을 만족한다. 곱 abc 의 값을 구하라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
672
(B)
688
(C)
704
(D)
720
(E)
750
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

쓰인 그대로 보면 이 연립식은 비선형이고 다루기 어려워 보인다. 도구 #15(다르게 정리하기)는 전개한 뒤 다시 읽어보라고 말한다: a(b+c) = ab + ac 이고 나머지도 마찬가지이므로, 모든 식은 ab, bc, ca 세 값 중 두 개의 합이다. 도구 #4(변수 도입하기)로 이를 공식화하여 ab, bc, ca 를 새로운 세 미지수로 보면, 각 식이 정확히 하나의 미지수만 빠뜨린 평범한 일차 연립방정식이 된다. 이런 모양에는 표준 수법이 있다: 전부 더한 뒤 각 식을 빼서 빠진 값을 되찾는 것이다. 마지막으로 도구 #13(대수로 바꾸기)이 마무리한다. 세 곱을 모두 곱하면 (abc)²이 되므로 제곱근 한 번이면 답이 나온다. 핵심은 a, b, c 를 따로 알 필요가 전혀 없다는 점이다.

1STEP 1

전개해서 진짜 미지수 보기

전개하면 식마다 두 개씩의 곱만 두 개씩 등장한다.

ab + ca = 152, ab + bc = 162, bc + ca = 170
2STEP 2

세 식을 모두 더하기

세 식을 더하면 각 곱이 두 번 세어져 합은 242이다.

2(x + y + z) = 484 ⟹ x + y + z = ab + bc + ca = 242
3STEP 3

빼서 각 곱을 하나씩 분리하기

총합에서 원래 식을 각각 빼면 90, 80, 72가 되살아난다.

bc = 90, ca = 80, ab = 72
4STEP 4

세 곱을 모두 곱하기

셋을 모두 곱하면 각 문자가 두 번씩 들어가 (abc)² = 518,400이다.

(abc)² = (ab)(bc)(ca) = 72 · 90 · 80 = 518,400
5STEP 5

양의 제곱근 택하기

모두 양수이므로 양의 제곱근은 720, 보기 (D).

abc = √(518,400) = √(720²) = 720 (D)
정답
720
지금까지의 논증은 '그런 수가 존재한다면 abc = 720이다'만 보여 주므로, 실제로 존재하는지 확인한다. 문자를 되찾으면 a² = (ab)(ca)/bc = (72 · 80)/90 = 64이고 양수 조건에서 a = 8, 이어서 b = 72/8 = 9, c = 80/8 = 10이다. 원래 세 식을 모두 검사하면 8(9+10) = 152, 9(10+8) = 162, 10(8+9) = 170으로 전부 성립하고 8 · 9 · 10 = 720이다. 솔깃한 지름길 하나에는 경고가 필요하다: abc = 72c 이므로 abc 가 72의 배수여야 한다며 그런 선택지 하나만 고르고 싶어진다. 그러나 이 단계는 c 가 정수라는 것을 몰래 가정한다. 문제는 그런 말을 한 적이 없고 a, b, c 는 양의 실수이기만 하면 되므로, 결과적으로 답이 맞더라도 그런 배수 논증은 주어진 조건이 뒷받침하지 않는다.
💡핵심 정리

같은 덩어리가 계속 나타나면 그 덩어리에 이름을 붙여라 — 여기서는 두 개씩의 곱 세 개가 무서워 보이던 비선형 연립식을 쉬운 일차식으로 바꿔 준다.

  • 전개해서 진짜 미지수 보기
  • 세 식을 모두 더하기
  • 빼서 각 곱을 하나씩 분리하기
  • 세 곱을 모두 곱하기
  • 양의 제곱근 택하기

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.