AMC 10 · 2003 · #13

학년 8 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-spherevolume-conepercentage convert-to-algebraformula-substitution ↑ 선수 지식: volume-sphere

📏 긴 풀이 💡 2 개 인사이트

문제

아이스크림 한 덩이가 원뿔 위에 놓여 있고, 원뿔 밑면 원의 지름은 이 덩이의 지름과 같습니다. 아이스크림이 녹으면 부피가 얼어 있을 때의 75%로 줄어들고, 그 녹은 양이 원뿔을 정확히 채웁니다. 원뿔의 높이와 반지름의 비를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

2:1

(B)

3:1

(C)

4:1

(D)

16:3

(E)

6:1

풀이 과정

전략 변수 도입하기

어디에도 수가 주어져 있지 않으므로, 첫 수는 중요한 두 길이에 이름을 붙이는 것입니다. 공유하는 반지름 r과 원뿔 높이 h입니다 (도구 #4). "구와 같은 지름"이라는 구절이 세 개가 될 뻔한 길이를 둘로 줄여 주고, 공이 원뿔 위에 얹힌 모습을 떠올리면 그 공유가 눈에 보입니다 (도구 #10). "정확히 채운다"는 말은 사실 부피 방정식이므로, 표준 공식으로 두 부피를 쓰고 같다고 놓습니다 (도구 #13). 묻는 것이 비뿐이므로 π와 r은 약분되어 사라지고, 구체적으로 확인하고 싶다면 r=1로 두고 두 개의 평범한 수를 비교하면 됩니다 (도구 #9).

1STEP 1

두 길이에 이름 붙이기

지름이 같으므로 반지름도 같고 문자 r 하나가 두 도형을 모두 맡는다.

r=sphere radius=cone base radius, h=cone height

2STEP 2

얼어 있을 때의 부피 쓰기

언 덩이는 부피가 3분의 4 파이 r 세제곱인 구다.

V_sphere=4/3π r³

3STEP 3

75퍼센트 취하기 — 분수가 약분됩니다

줄어드는 비율과 그 분수가 서로 역수라 녹은 양은 정확히 파이 r 세제곱이다.

V_melted=3/4·4/3π r³=π r³

4STEP 4

원뿔과 웅덩이를 같다고 놓기

정확히 채운다는 것은 원뿔의 부피가 그와 같다는 뜻이라 식 하나가 나온다.

1/3π r²h=π r³

5STEP 5

높이 구하기

공통 인수를 나누면 h = 3r가 남는다.

1/3π r²h=π r³ → 1/3h=r → h=3r

6STEP 6

비 읽어내기

따라서 비는 크기와 무관하게 3 대 1, 보기 (B).

h:r=3r:r=3:1; r=1: 3/4·4/3π=π=1/3π(1)²(3)

정답

3:1

수가 어림이 아니라 정확히 맞습니다. r=1이면 녹은 부피는 π이고, 높이 3인 원뿔은 1/3π · 1 · 3=π를 담습니다. 선택지 목록도 스스로를 설명합니다. 녹는 단계를 빼먹고 구 전체가 들어가야 한다면 방정식은 1/3π r²h=4/3π r³이 되어 h=4r, 즉 (C) 4:1이 나옵니다. 그러니 (C)는 75%를 잊었을 때 걸리는 함정이고, 참된 답은 4:1보다 작아야 하는데 3:1이 그렇습니다. (D) 16:3과 (E) 6:1은 둘 다 4:1보다 크므로, 얼어 있던 양보다 녹은 양이 더 많아야 한다는 뜻이 되어 부피가 줄어드는 상황에서는 불가능합니다. 그래서 물리적으로 말이 되는 것은 (A)와 (B)뿐이고, 계산이 (B)를 고릅니다.

💡핵심 정리

구 부피의 사분의 삼은 정확히 π r³이고, 반지름이 같은 원뿔이 그만큼을 담으려면 반지름 세 개만큼 높아야 합니다.

두 길이에 이름 붙이기
얼어 있을 때의 부피 쓰기
75퍼센트 취하기 — 분수가 약분됩니다
원뿔과 웅덩이를 같다고 놓기
높이 구하기
비 읽어내기