AMC 10 · 2005 · #17

학년 10 geometry-3d

유형 Solid Volume by Decomposition └ 세부 유형 Fraction or Difference of a Bounding Solid

volume-pyramidspatial-visualizationcoordinate-geometry spatial-visualizationcoordinate-geometryidentify-subproblems ↑ 선수 지식: volume-pyramidspatial-visualizationcoordinate-geometry

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

단위 정육면체를 평면 둘로 잘라 기둥 셋을 만들고, 같은 자르기를 90도 돌려 한 번 더 한다. 정육면체가 아홉 조각이 된다. 지정된 꼭짓점이 들어 있는 조각의 부피를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{1}{12}$

(B)

$\frac{1}{9}$

(C)

$\frac{1}{8}$

(D)

$\frac{1}{6}$

(E)

$\frac{1}{4}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

자르는 것은 평면이지만 그림은 면 위의 직선 하나로 그 평면을 완전히 정해 준다. 정육면체에 좌표를 놓으면 자르기 하나가 일차식 하나가 되므로, "아홉 조각 중 어느 것이 W를 담는가"라는 물음이 "W가 각 평면의 어느 쪽에 있는가"로 바뀐다. 조각을 부등식으로 적고 나면 높이마다 자른 단면이 그 조각의 정체를 알려 주고, 부피 공식 하나로 마무리된다.

1STEP 1

정육면체에 좌표 놓기

좌표를 놓으면 정육면체가 간단한 범위 셋이 된다.

cube = {(x,y,z) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1}, W = (1, 0, 1)

2STEP 2

그림 1의 자르기를 식으로 쓰기

첫 자르기 쌍은 좌표 하나를 무시해 평면 방정식 둘을 준다.

z = 2y and z = 2 - 2y

3STEP 3

90° 돌린 자르기 더하기

90도 회전이 역할을 바꿔 삼 곱하기 삼으로 아홉 조각이 된다.

z = 2x and z = 2 - 2x

4STEP 4

W가 만족하는 부등식 두 개 찾기

실제로 조각을 둘러싸는 부등식은 둘뿐이다.

P = {(x,y,z) ∈ cube : z ＞ 2y and z ＞ 2 - 2x}

5STEP 5

높이 z에서 단면 보기

각 단면이 변이 일차로 커지는 정사각형이라 조각은 각뿔이다.

slice area at height z = (z/2)² = z²/4

6STEP 6

각뿔 부피 공식 쓰기

각뿔 공식으로 1/12, 보기 (A).

V = 1/3 · 1/4 · 1 = 1/12

정답

1/12

아홉 조각이 정말 정육면체를 다시 채우는지 확인한다. 높이 z에서 바깥쪽 덩어리는 길이 z/2의 구간을, 가운데 덩어리는 길이 1 - z의 구간을 준다. 그래서 바깥쪽 덩어리를 하나라도 쓴 여덟 조각은 모두 부피가 1/12이다. z/2 · z/2를 0부터 1까지 적분해도, z/2 · (1-z)를 적분해도 값이 1/12이기 때문이다. 가운데 조각은 (1-z)²의 적분인 1/3이다. 그러면 8 · 1/12 + 1/3 = 2/3 + 1/3 = 1로 정육면체 전체 부피와 같으므로 1/12은 앞뒤가 맞는다. 크기 감각도 맞다. 이 조각은 1/2 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1/2인 부피 1/4의 직육면체 안에 들어 있고, 그 직육면체의 정확히 1/3을 채운다.

💡핵심 정리

입체를 높이마다 잘라 보면 된다. 단면이 한 변이 0에서부터 고르게 자라는 정사각형이면 그 입체는 각뿔이고, 각뿔은 자기를 감싸는 상자의 1/3을 채운다.

정육면체에 좌표 놓기
그림 1의 자르기를 식으로 쓰기
90° 돌린 자르기 더하기
W가 만족하는 부등식 두 개 찾기
높이 z에서 단면 보기
각뿔 부피 공식 쓰기