AMC 10 · 2004 · #23

학년 11 algebra

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

vieta-formulaspolynomial-rootsperfect-squares convert-to-algebracomplementary-counting ↑ 선수 지식: vieta-formulas

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

정수 계수인 삼차식이 서로 다른 세 양의 근을 가지고, 그중 정확히 하나만 정수다. 그 정수 근은 나머지 두 근의 합과 같다. 상수항이 가질 수 있는 값이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$250,\!000$

(B)

$250,\!250$

(C)

$250,\!500$

(D)

$250,\!750$

(E)

$251,\!000$

풀이 과정

전략 변수 도입하기

정보를 모두 담고 있는 것은 근이므로, 먼저 근에 이름을 붙이고 비에트 정리로 계수 -2004를 근에 대한 식으로 바꾼다. 그러면 이 다항식 가족 전체가 단 하나의 수, 즉 정수가 아닌 두 근의 곱으로 줄어든다. 그 다음 n의 개수를 세는 일은 그 정수 하나가 가질 수 있는 값을 세는 일이 되고, 이는 정수 구간에서 금지된 몇 개를 빼는 여집합 세기가 된다.

1STEP 1

세 근에 이름 붙이기

숨은 근에 이름을 붙이면 셋째 근이 그 합이 된다.

x³ - 2004x² + mx + n = (x - r) (x - s) (x - (r+s))

2STEP 2

근의 합 읽어내기

앞쪽 계수가 그 정수 근을 1002로 확정한다.

2(r+s) = 2004 ⟹ r + s = 1002

3STEP 3

모든 것을 수 하나로 줄이기

그다음 하나의 곱이 미지의 두 계수를 지배한다.

m = t + 1002², n = -1002 t, t = rs ∈ Z

4STEP 4

숨은 두 근을 직접 쓰기

근의 공식이 숨은 두 근을 그 하나의 수로 써 준다.

r, s = (1002 ± √(1002² - 4t))/2 = 501 ± √(251001 - t)

5STEP 5

t의 범위 정하기

실수, 서로 다름, 양수 조건이 후보를 251000개로 좁힌다.

0 ＜ t ＜ 251001, t ∈ Z ⟹ t ∈ {1, 2, …, 251000}

6STEP 6

금지된 t 찾아내기

금지된 것은 완전제곱수를 만드는 경우뿐이다.

r, s ∉ Z ⇔ 251001 - t 가 완전제곱수가 아니다

7STEP 7

금지된 개수 세기

그 제곱수를 세면 정확히 500개를 빼야 한다.

500² = 250000 ≤ 251000 ＜ 251001 = 501² ⟹ k ∈ {1, …, 500}

8STEP 8

빼고 n으로 되돌리기

빼면 250,500개가 남는다, 보기 (C).

251000 - 500 = 250500

정답

250, 500

이 개수는 250500 = 501 · 500으로 인수분해되는데, 이는 우연이 아니다. 숨은 두 근의 합을 2S라고 쓰면(여기서는 2S = 1002이므로 S = 501) 위 논증은 t ∈ {1, …, S² - 1}에서 S² - t가 완전제곱수인 S - 1개를 빼는 것이므로 (S² - 1) - (S - 1) = S(S-1)이 된다. 이 공식을 아주 작은 경우로 확인해 보자. 2004 대신 6을 넣으면 S = 3이고, 근은 3과 3 ± √(9 - t)이며 t는 1부터 8까지 움직인다. 하나씩 적어 보면 t = 1, 2, 3, 4, 6, 7은 3 ± √(8) 같은 무리수 쌍을 주고, t = 5는 1과 5를, t = 8은 2와 4를 주어 둘 다 정수 쌍이므로 탈락한다. 남는 것은 6 = 3 · 2 = S(S-1)개로 공식과 일치한다. S = 501에 적용하면 501 · 500 = 250500, 곧 선택지 (C)이다. 다른 선택지들도 250의 배수라 그럴듯해 보이므로, 501² = 251001이 범위를 아슬아슬하게 벗어난다는 점까지 정확히 따지는 것이 정답을 가른다.

💡핵심 정리

다항식의 근들이 규칙으로 묶여 있으면, 그 가족 전체를 수 하나로 나타낸 뒤 그 수가 모든 규칙을 지키는 경우를 세면 된다.

세 근에 이름 붙이기
근의 합 읽어내기
모든 것을 수 하나로 줄이기
숨은 두 근을 직접 쓰기
t의 범위 정하기
금지된 t 찾아내기
금지된 개수 세기
빼고 n으로 되돌리기