AMC 10 · 2005 · #24

학년 11 algebra

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

polynomial-rootspolynomial-factoringfunction-compositionfundamental-counting-principle identify-subproblemscomplementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: polynomial-rootsfunction-compositionpolynomial-factoring

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

서로 다른 세 근을 가진 삼차식에 미지의 다항식을 합성한다. 그 결과가 삼차식 곱하기 차수가 정확히 3인 다항식과 같아야 한다. 조건을 만족하는 미지의 다항식의 개수를 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

조건이 다항식 사이의 항등식이라 정면으로 다루기 어렵다. 그래서 두 개의 독립적인 조각으로 나눈다. Q의 차수가 얼마여야 하는가, 그리고 Q가 1, 2, 3에서 어떤 값을 가져야 하는가다. 차수를 비교하면 첫 조각이 곧바로 끝난다. 항등식을 나누어떨어짐으로 바꿔 쓰고 P의 근이 서로 다르다는 점을 쓰면 둘째 조각이 끝난다. 남는 것은 작은 값의 삼중쌍 목록인데, 성립하는 쪽보다 실패하는 쪽을 설명하기가 훨씬 쉬우므로 여집합을 센다.

1STEP 1

Q의 차수 확정하기

차수를 비교하면 미지 다항식의 차수가 2로 정해진다.

deg(P(Q(x))) = 3deg Q = deg(P(x)R(x)) = 3 + 3 = 6 ⟹ deg Q = 2

2STEP 2

항등식을 나누어떨어짐으로 바꾸기

그 항등식은 사실 나누어떨어짐 조건이다.

P(x) ∣ F(x) ⇔ F(1) = F(2) = F(3) = 0

3STEP 3

근 조건을 Q에 대한 조건으로 바꾸기

근이 서로 달라 그것이 세 개의 단순한 값 조건이 된다.

P(Q(k)) = (Q(k)-1)(Q(k)-2)(Q(k)-3) = 0 ⇔ Q(k) ∈ {1, 2, 3}

4STEP 4

그 조건으로 충분함을 확인하기

그 조건들은 충분하기도 해서 개수를 정확히 셀 수 있다.

R(x) = P(Q(x))/P(x), deg R = 6 - 3 = 3

5STEP 5

후보 값 삼중쌍 세기

세 점의 세 값이 다항식을 결정하므로 후보가 27개다.

3 · 3 · 3 = 27

6STEP 6

납작해지는 경우 찾기

후보가 납작해지는 것은 세 값이 등차수열을 이룰 때뿐이다.

Q(1) - 2Q(2) + Q(3) = (p+q+r) - 2(4p+2q+r) + (9p+3q+r) = 2p

7STEP 7

실패하는 경우 나열하기

그것들을 나열하면 실패가 5개다.

(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (1,2,3), (3,2,1)

8STEP 8

빼기

빼면 22가 남는다, 보기 (B).

27 - 5 = 22

정답

오답 선택지는 세는 작업이 너무 일찍 멈추는 지점과 정확히 일치한다. 27은 Q의 차수가 정확히 2여야 한다는 점을 잊은 값이고, 24는 상수함수 세 개만 빼고 Q(x) = x와 Q(x) = 4-x를 남겨 둔 값이다. 살아남은 삼중쌍 하나를 직접 확인해 보면 논리가 맞아떨어진다. (Q(1), Q(2), Q(3)) = (1,1,2)이면 p = (1 - 2 + 2)/2 = 1/2이고 Q(x) = 1/2x² - 3/2x + 2가 되는데, 이는 진짜 이차식이며 1, 2, 3을 각각 1, 1, 2로 보내고 P(Q(x))가 x = 1, 2, 3에서 0이 된다. 또한 R의 차수 조건은 마지막에 아무것도 걸러 내지 않는다. deg Q = 2가 되는 순간 몫의 차수는 자동으로 3이 되기 때문이다.

💡핵심 정리

다항식 항등식은 대개 근에서의 몇 가지 조건으로 줄어든다. 그 조건을 찾고 나면 남는 일은 세는 것뿐이다.

Q의 차수 확정하기
항등식을 나누어떨어짐으로 바꾸기
근 조건을 Q에 대한 조건으로 바꾸기
그 조건으로 충분함을 확인하기
후보 값 삼중쌍 세기
납작해지는 경우 찾기
실패하는 경우 나열하기
빼기