AMC 10 · 2006 · #23

학년 9 algebrapattern

유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Figure-N Growth Sequence

sequences-geometricrecursive-sequenceexponents easier-related-problemwork-backwards ↑ 선수 지식: sequences-geometricexponents

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

거듭제곱의 목록을 이웃한 쌍의 평균으로 바꾸기를 백 번 되풀이한다. 남은 하나의 수가 주어진 이분의 일의 거듭제곱이다. 원래 거듭제곱의 밑을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$1-\frac{\sqrt{2}}{2}$

(B)

$\sqrt{2}-1$

(C)

$\frac{1}{2}$

(D)

$2-\sqrt{2}$

(E)

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

평균 내기를 100번 손으로 할 수 있는 사람은 없습니다. 그러니 한 번만 해 보고(도구 #9) 무엇이 돌아오는지 봅니다. S가 등비 목록이므로 이웃한 두 항은 정확히 x 한 번만큼 차이가 납니다. 그래서 평균에는 x^i-1이 그대로 남고 상수 (1+x)/2만 붙습니다. 결국 한 번 적용하면 같은 종류의 목록이 더 짧아진 채로 돌아옵니다. 이 '자기 닮음'이 핵심입니다. 두 번째 적용이 첫 번째와 똑같은 상황을 만나므로, 한 줄짜리 계산 하나가 100번 전부를 덮습니다. 이것을 모든 m에 대한 식으로 바꾸는 대목이 엄밀해야 하는 곳입니다(도구 #5). m=1과 m=2에서 패턴을 읽고 '일반적으로'라고 쓰는 것은 증명이 아니고, 제대로 고치는 데는 문장 하나면 됩니다. 먼저 일을 쪼갭니다(도구 #7). 항이 몇 개 남는지 세고, 그다음 남은 수가 무엇인지 구합니다. 닫힌 식을 얻으면 주어진 결과값으로 기계를 거꾸로 돌려 x에 대한 방정식을 얻습니다(도구 #11). 그 방정식을 푸는 것이 두 번째로 조심할 곳입니다. 지수를 다시 묶어(도구 #15) 제곱 방정식으로 만들고, x ＞ 0으로 자격 없는 뿌리를 지우고(도구 #3), 마지막으로 후보를 기계에 다시 넣어 확인합니다(도구 #6). 그래야 답이 '강제된' 것에 그치지 않고 '확인된' 것이 됩니다.

1STEP 1

항의 개수와 횟수 세기

매번 목록이 짧아져 백 번이면 수가 하나 남는다.

n=101, A^m(S)의 길이는 101-m, A¹⁰⁰(S)의 길이는 1

2STEP 2

한 번만 적용해 모양이 살아남는 것 보기

한 번 적용하면 상수가 빠져나오고 모양이 같다.

(x^i-1+x^i)/2=x^i-1·(1+x)/2 → A(S)=(1+x)/2·(1,x,x²,… ,x⁹⁹)

3STEP 3

똑같은 한 줄을 되풀이하기

그래서 그 수법이 그냥 되풀이되어 깔끔한 일반항이 나온다.

A^m(S)=((1+x)/2)^m(1,x,… ,x¹00-m) → A¹⁰⁰(S)=(((1+x)/2)¹⁰⁰)

4STEP 4

마지막 수에서 거꾸로 올라가기

거꾸로 가면 마지막 값이 하나의 거듭제곱 방정식이 된다.

((1+x)/2)¹⁰⁰=1/2⁵⁰⇔((1+x)¹⁰⁰)/2¹⁰⁰=1/2⁵⁰⇔ (1+x)¹⁰⁰=2⁵⁰

5STEP 5

지수를 다시 묶고 크기로 비교하기

지수를 다시 묶으면 거듭제곱을 비교할 수 있다.

((1+x)²)⁵⁰=2⁵⁰이고 u ＞ 0에서 u↦ u⁵⁰은 일대일이므로 (1+x)²=2

6STEP 6

양수 조건이 허락하는 뿌리만 남기기

양수 조건이 한 근을 없애고 √(2)-1이 남는다.

(1+x)²=2 → 1+x=±√(2)이고, x ＞ 0이 1+x=-√(2)를 지워 x=√(2)-1

7STEP 7

후보를 처음부터 끝까지 확인하기

처음부터 끝까지 확인하면 √(2)-1이 맞는다, 보기 (B).

(1+x)/2=√(2)/2이고 (√(2)/2)¹⁰⁰=2⁵⁰/2¹⁰⁰=1/2⁵⁰ → (B)

정답

√(2)-1

세 가지로 확인합니다. 첫째, 크기입니다. 남는 수는 r=(1+x)/2일 때 r¹⁰⁰이고, 이것이 1/2⁵⁰≈ 8.9 × 10⁻¹⁶이어야 합니다. 100번 만에 그만큼 작아지려면 r이 0.7보다 조금 커야 하는데, 이는 r=√(2)/2≈ 0.707과 맞고 그러면 x≈ 0.414입니다. 모든 선택지처럼 0과 1 사이의 수입니다. 둘째, 경쟁 선택지를 직접 시험해 볼 수 있습니다. (C) 1/2이면 r=3/4이고 (3/4)¹⁰⁰≈ 3.2 × 10⁻¹³으로 약 360배나 큽니다. 그래서 (C)는 스스로 무너집니다. 셋째, 오답들은 마지막 계산 한 줄에서 나오는 아슬아슬한 실수들과 정확히 일치합니다. (E) √(2)/2는 r 그 자체로, 한 걸음 일찍 멈추고 (1+x)/2를 되돌리는 것을 잊었을 때 적게 되는 값입니다. (A) 1-√(2)/2는 같은 r을 뺄셈 순서를 뒤집어 쓴 값이고, (D) 2-√(2)는 정확히 (A)의 두 배로 엉뚱한 순간에 2를 곱했을 때 나오는 모양입니다. 세 가지를 모두 통과하는 것은 (B)뿐입니다.

💡핵심 정리

1,x,x²,…에서 이웃끼리 평균을 내면 같은 종류의 목록이 한 항 짧아진 채 (1+x)/2배가 되어 돌아오므로, 100번 뒤 남는 수는 ((1+x)/2)¹⁰⁰입니다. 이것을 1/2⁵⁰과 같다고 놓으면 1+x=√(2)일 수밖에 없습니다.

항의 개수와 횟수 세기
한 번만 적용해 모양이 살아남는 것 보기
똑같은 한 줄을 되풀이하기
마지막 수에서 거꾸로 올라가기
지수를 다시 묶고 크기로 비교하기
양수 조건이 허락하는 뿌리만 남기기
후보를 처음부터 끝까지 확인하기