AMC 10 · 2006 · #24

학년 8 countingalgebra
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split
binomial-theoremparitystars-and-bars easier-related-problemsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: binomial-theoremparity
📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트
문제
세 문자 식의 큰 거듭제곱 둘을 전개해 더하고 동류항을 합친다. 남는 항이 몇 개인지 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
6018
(B)
671,676
(C)
1,007,514
(D)
1,008,016
(E)
2,015,028
풀이 과정
전략 변수 도입하기

2006제곱을 실제로 써 볼 수 있는 사람은 없습니다. 그러니 전개식을 항들의 목록으로 보지 말고, 일반적인 항 하나를 보는 쪽으로 생각을 바꿉니다. 지수에 a, b, c라는 이름을 붙이면(도구 #4) 두 전개식의 모든 항은 a+b+c=2006인 x^a y^b z^c가 되고, '항이 몇 개인가'는 '살아남는 음이 아닌 정수 삼총사 (a,b,c)가 몇 개인가'가 됩니다. 먼저 지수를 2006에서 2로 줄여(도구 #9) 두 번째 전개식이 항에 무슨 일을 하는지 직접 눈으로 봅니다. 이것은 무엇을 증명해야 하는지 알려 줄 뿐, 그것이 참임을 알려 주지는 않습니다. 그다음 두 전개식을 항 대 항으로 나란히 놓아(도구 #15) 어떤 계수가 두 배가 되고 어떤 계수가 0이 되는지에 대한 정확한 규칙을 얻습니다. 그 규칙은 a의 홀짝 조건 하나로 바뀌고, 삼총사를 세는 일은 차례대로 훑는 작업(도구 #2)이 되어 익숙한 모양의 홀수 합(도구 #5)으로 끝납니다.

1STEP 1

지수를 줄여 작동 원리 보기

아주 작은 지수가 네 항으로 작동 원리를 보여 준다.

(x+y+z)²+(x-y-z)² = 2x²+2y²+2z²+4yz — 항 4개
2STEP 2

일반항에 a, b, c로 이름 붙이기

일반항을 세 지수로 이름 붙이면 세기가 구체적이 된다.

(x+y+z)²⁰⁰⁶=Σ_a+b+c=2006 N(a,b,c) x^a y^b z^c, N(a,b,c)=2006!/a! b! c! ≥ 1
3STEP 3

두 전개식을 항끼리 비교하기

두 전개를 비교하면 각 항이 두 배가 되거나 사라진다.

합에서의 계수 = N(a,b,c)(1+(-1)^b+c) = 2N(a,b,c), & b+c 짝수 ; 0, & b+c 홀수
4STEP 4

어떤 항이 살아남는지 확정하기

그래서 생존은 홀짝 조건에만 달려 있다.

#항 = #{(a,b,c)inZ_ ≥ 0³ : a+b+c=2006, b+c 짝수}
5STEP 5

b+c 조건을 a 조건으로 바꾸기

그 조건이 하나의 지수로 옮겨 간다.

a+(b+c)=2006 짝수 ⟹ b+c 짝수 ⇔ a 짝수
6STEP 6

a가 짝수인 삼총사 세기

삼총사를 세면 홀수들의 합이 남는다.

#항=Σ_k=0¹⁰⁰³(2007-2k) = 2007+2005+2003+…+3+1
7STEP 7

홀수들을 더하고 답 내기

그 합이 완전제곱수라 1,008,016, 보기 (D).

1+3+…+2007 = 502 · 2008 = 1004² = 1,008,016 → (D)
정답
1,008,016
같은 방법을 작은 지수에 써서 손으로 확인할 수 있습니다. 지수가 2이면 (2/2+1)² = 4개를 예측하는데, 첫 단계에서 찾은 항 4개와 맞습니다. 지수가 4이면 3²=9개를 예측합니다. 짝수 값 a=0,2,4가 각각 5+3+1=9개를 주고, 직접 전개해 보면 실제로 그렇습니다. 큰 값도 주변과 아귀가 맞습니다. 상쇄를 무시하면 문자 세 개로 만든 차수 2006짜리 단항식은 C(2008, 2)=2,015,028개이고 이것이 선택지 (E)입니다. 상쇄 전의 개수이므로 참값은 이보다 작아야 하고, 실제로 작습니다. 죽는 항은 a가 홀수인 것들로 2006+2004+…+2 = 1003 · 1004 = 1,007,012개인데, 1,008,016+1,007,012 = 2,015,028이 정확히 맞아떨어져 살아남은 것과 죽은 것이 모든 단항식을 남김없이 나눠 갖습니다. 절반보다 조금 많이 살아남는 것도 예상대로입니다. 살아남는 쪽에 가장 큰 덩어리(a=0, 항 2007개)가 들어 있기 때문입니다. 오답 선택지도 흔한 실수와 맞물립니다. (E)는 상쇄를 잊은 값이고, (C) =1,007,514는 (E)의 절반으로 '항의 딱 절반이 죽는다'고 가정한 값이며, (A) =3 · 2006은 아무 의미 없는 수입니다. 널리 쓰이는 지름길 중에 'a가 가질 수 있는 2007개 값 가운데 1004개가 짝수이니 2,015,028개의 1004/2007가 살아남는다'는 것이 있고, 실제로 1,008,016이 나옵니다. 하지만 그 이유는 틀렸습니다. 항은 a에 고르게 퍼져 있지 않기 때문입니다(a=0에는 2007개, a=2006에는 1개). 그것이 맞는 이유는 오직 1+3+…+2007=1004²이고 1004²/(1004 · 2007)=1004/2007이기 때문입니다. 따라서 확인해 볼 만한 우연일 뿐, 믿을 만한 근거는 아닙니다.
💡핵심 정리

y와 z의 부호를 뒤집으면 항에 들어 있는 y와 z 하나마다 -1이 곱해지므로, 그 개수가 짝수인 항은 두 배가 되고 홀수인 항은 사라집니다. 살아남는 것을 세면 1+3+5+…+2007=1004²=1,008,016개입니다.

  • 지수를 줄여 작동 원리 보기
  • 일반항에 a, b, c로 이름 붙이기
  • 두 전개식을 항끼리 비교하기
  • 어떤 항이 살아남는지 확정하기
  • b+c 조건을 a 조건으로 바꾸기
  • a가 짝수인 삼총사 세기
  • 홀수들을 더하고 답 내기

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