AMC 10 · 2007 · #12
학년 7 probability답을 골라 클릭하세요.
ad-bc가 짝수인지는 0부터 2007까지의 실제 값과 무관하고, 각 수가 짝수인지 홀수인지(패리티)만 중요하다. 그래서 Tool #9(더 쉬운 문제로 줄이기)로 2008개의 값에 관한 질문을 각 변수가 확률 1/2로 '짝수' 또는 '홀수'인 동전 던지기 질문으로 축소한다. 이어서 Tool #16(관점 바꾸기)으로 수 자체가 아니라 두 곱 ad와 bc의 패리티에 초점을 맞춘다. 곱은 두 인수가 모두 홀수일 때만 홀수이기 때문이다. Tool #7(작은 문제로 쪼개기)은 목표를 두 조각으로 나눈다 — 각 곱이 짝수일 확률, 그리고 두 곱의 패리티가 일치할 확률 — 이 둘을 곱하고 더하면 최종 확률이 나온다.
패리티 문제로 줄이기
홀짝만 중요해 각 뽑기가 공정한 동전 던지기다.
ad-bc의 짝홀은 각 수의 패리티만 바꾸고, 범위가 정확히 반으로 나뉘므로 모든 변수는 공정한 짝수-홀수 동전이다.
7.SP.C.5Solve An Easier Related Problem각 곱의 패리티
곱이 홀수인 것은 두 인수가 모두 홀수일 때뿐이다.
인수 하나만 짝수여도 곱은 짝수로 끌려가므로, 곱이 홀수인 경우는 두 인수가 모두 홀수인 그 한 경우뿐이다.
4.OA.B.4Change Focus Count The Complement차가 언제 짝수인가
차가 짝수인 것은 두 홀짝이 일치할 때뿐이다.
두 수를 빼서 짝수가 되는 것은 두 수의 패리티가 같을 때뿐이라, 패리티를 맞추는 것이 문제의 핵심이다.
7.SP.C.7Identify Subproblems경우를 곱하고 더하기
일치하는 두 경우를 더하면 5/8, 보기 (E).
독립인 패리티는 각 경우 안에서 곱하고, 겹치지 않는 경우는 더하므로 9/16+1/16이 차가 짝수가 되는 모든 방법을 모은다.
각 경우 안에서는 서로 독립인 홀짝이 곱해지고, 따로인 경우들은 더해져 전체 확률이 된다.
▸ 왜?
각 성분의 홀짝은 다른 성분과 상관없이 뽑히므로, 확률이 곱해진다.
▸ 왜?
두 경우는 결코 겹치지 않으므로, 어떤 결과도 두 번 세어지지 않고 빠지지도 않는다.
실제 숫자는 잊고 짝수-홀수만 따라가자: 두 곱의 패리티가 일치할 때 차가 짝수가 되고, 곱은 3/4의 확률로 짝수이므로 확률이 쌓여 5/8이 된다.
- 패리티 문제로 줄이기
- 각 곱의 패리티
- 차가 언제 짝수인가
- 경우를 곱하고 더하기