AMC 10 · 2007 · #24

학년 11 algebra
유형 Lattice / Grid Pattern from Small Cases └ 세부 유형 Periodic Placement Formula
sum-to-product-identityperiodic-functionprinciple-of-inclusion-exclusionfloor-functionsequences-arithmetic easier-related-problemcaseworkidentify-subproblems ↑ 선수 지식: trigonometric-ratiosperiodic-function
📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트
문제
1보다 큰 각 정수에 대해 닫힌 구간에서 어떤 사인 방정식의 해의 개수를 센다. 긴 범위에 걸쳐 그 개수를 모두 더하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
2014524
(B)
2015028
(C)
2015033
(D)
2016532
(E)
2017033
풀이 과정
전략 다르게 정리하기

(무엇) = (무엇) 꼴의 방정식에는 근의 개수가 딸려오지 않지만, (곱) = 0 꼴에는 딸려온다. 이 꼴의 해는 각 인수의 해와 정확히 일치하고, 그것들은 나열할 수 있기 때문이다. 그래서 이 문제는 맨 처음 한 번의 도구 #15(다르게 정리하기)에 달려 있다 — 모두 한쪽으로 옮기고 차 sin(nx) - sin x를 곱으로 다시 쓰는 것이다. 이 변형은 항등식이므로 얻는 해도 잃는 해도 없고, 개수 세기는 두 개의 명시적인 목록의 합집합의 크기가 된다. 그다음부터는 도구 #12(벤 다이어그램 그리기)가 남은 아이디어 전부를 공급한다. 합집합의 크기는 두 크기의 합에서 겹침의 크기를 뺀 것이므로, 이 문제의 어려움 전부가 하나의 질문으로 압축된다 — 두 목록은 언제 점을 공유하는가? 이것이 문제가 실제로 걸려 있는 지점이고, 그래프에 의존한 풀이가 조용히 무너지는 곳이기도 하다. 공유되는 점에서 두 곡선은 교차가 아니라 접하기 때문이다. 도구 #4(변수 도입하기)는 이 겹침 질문을 쉽게 만든다. 두 반각을 u와 v로 이름 붙이면 그 차가 x 자신임이 드러나고, 어떤 배수 논증도 하기 전에 공유 가능한 점이 x = π/2 하나로 못 박힌다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 마무리를 목록별 세기와 n에 대한 합산으로 나누고, 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)는 맨손으로 풀 수 있을 만큼 작은 n = 2와 n = 5로 식을 검증한다.

1STEP 1

차를 곱으로 다시 쓰기

차를 곱으로 다시 쓰면 방정식이 나뉜다.

sin(nx) - sin x = 2 cos (((n+1)x)/2) sin (((n-1)x)/2) (모든 실수 x 에 대해)
2STEP 2

해의 두 목록

각 인수가 자기 해 집합을 준다.

A = {((2j+1)π)/(n+1) ∈ [0,π] : j ∈ Z}, B = {2kπ/(n-1) ∈ [0,π] : k ∈ Z}, F(n) = |A ∪ B|
3STEP 3

목록을 각각 세기

따로 세면 합계가 n 더하기 1이다.

|A| = ⌊ n/2 ⌋ + 1, |B| = ⌊ (n-1)/2 ⌋ + 1, |A| + |B| = (n-1) + 2 = n+1
4STEP 4

두 목록은 pi/2에서만 만난다

두 집합은 한 점에서만, 그것도 가끔만 만난다.

u - v = x → x = π/2 + (j-k)π → x = π/2; π/2 ∈ A ∩ B ⇔ n ≡ 1 (mod 4)
5STEP 5

F(n)의 식 완성하기

그것이 두 경우로 나뉜 공식을 준다.

F(n) = n & n ≡ 1 (mod 4) ; n+1 & 그 외
6STEP 6

합계 구하기

보정을 넣어 합하면 2016532, 보기 (E).

Σ_n=2²⁰⁰⁷ F(n) = ((2008 · 2009)/2 - 3) - 501 = 2017033 - 501 = 2016532
정답
2016532
답은 2016532, 선택지 (D)이다. 가장 강한 검증은 선택지 목록 자체가 논증의 구조를 확인해 준다는 점이다. 선택지 (E) 2017033은 보정하지 않은 합 Σ_n=2²⁰⁰⁷(n+1)과 정확히 같다 — F(n) = n+1까지만 세우고 n ≡ 1 (mod 4)인 예외를 끝내 발견하지 못한 사람이 적어내는 값이다. (D)와 (E)의 차이는 501이고, 이는 예외적인 n의 개수와 정확히 같다. 이 문제의 내용 전부가 그 501이다. 선택지 (B) 2015028은 (2007 · 2008)/2, 즉 1부터 2007까지 n 자체를 더한 값으로, 정반대 오류에서 나온다 — 어디서나 F(n) = n을 쓰고 아래 끝값에서 미끄러진 경우다. 선택지 (A) 2014524는 그 틀린 기준값에 그럴듯한 보정을 얹은 2015028 - 504이고, 선택지 (C) 2015033은 (B)보다 5 큰 값으로 같은 계열의 상수 어긋남이다. 네 개의 오답이 모두 하나의 정직한 계산의 근처 값이라는 것은 그 계산이 의도된 계산이라는 좋은 신호이다. 독립적인 수치 근거도 있다. n = 2부터 n = 20까지 해를 직접 세면 3, 4, 5, 5, 7, 8, 9, 9, 11, 12, 13, 13, 15, 16, 17, 17, 19, 20, 21이 나오는데, 이는 주장한 대로 n = 5, 9, 13, 17에서만 하나씩 떨어지는 n+1이고, 떨어지는 모든 경우에 중복된 해는 오직 π/2뿐이다. 크기 감각으로도 맞는다. F(n) ≈ n이므로 합은 Σ_n=2²⁰⁰⁷ n ≈ 2.0 × 10⁶ 근처에 있어야 하고, 2016532가 그렇다.
💡핵심 정리

"두 파동이 같다"를 "곱이 0이다"로 바꾸고, 균등 간격의 두 영점 목록을 센 다음, 둘이 부딪칠 수 있는 단 한 곳 — 두 파동이 동시에 봉우리에 오르는 중점 π/2 — 을 빼면 된다.

  • 차를 곱으로 다시 쓰기
  • 해의 두 목록
  • 목록을 각각 세기
  • 두 목록은 pi/2에서만 만난다
  • F(n)의 식 완성하기
  • 합계 구하기

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