AMC 10 · 2007 · #19

학년 11 geometry-3d

유형 Net Folding / Face Adjacency └ 세부 유형 Net-Edge Matching for Length, Area, or Volume

volume-cylindercircle-circumferencetrigonometric-ratios spatial-visualizationconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: volume-cylindertrigonometric-ratios

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

마름모를 늘이지 않고 구부려 한 변을 맞은편 변에 붙여 원기둥을 만든다. 원기둥의 부피가 주어져 있다. 마름모의 각의 사인값을 구하여라.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{\pi}{9}$

(B)

$\frac{1}{2}$

(C)

$\frac{\pi}{6}$

(D)

$\frac{\pi}{4}$

(E)

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

풀이 과정

전략 공간 상상하기

통의 반지름과 높이를 마름모의 값으로 표현하고 나면 남는 것은 한 줄짜리 대수 계산이다. 그러므로 이 문제의 전부는 그 한 줄 앞의 문장, 즉 마름모의 어느 길이가 통을 한 바퀴 돌고 어느 길이가 위로 올라가느냐이다. 두 후보 모두 같은 도형 안에 있는 6쯤 되는 양이고, 잘못 고르면 답이 달라지므로, 그 답을 그림만 보고 단정하고 싶은 유혹이 생긴다. 그렇게 하는 대신 도구 #17(공간 상상하기)과 도구 #10(직접 만져보기)으로 그것을 유도한다. 먼저 테이프가 실제로 무엇과 무엇을 같은 점으로 만드는지 따라간다. B가 C가 되므로 붙이지 않은 변 BC는 고리로 닫힌다. 그다음 완성된 통을 펼친다. 펼치는 것은 구부리기를 거꾸로 돌리는 것이므로 마름모를 그대로 되돌려 준다. 그 펼친 그림에서 두 테두리는 직선이 되고, '어느 방향이 도는 방향인가'라는 물음의 답은 고르는 것이 아니라 강제된다. 도구 #1(그림 그리기)은 마름모의 높이를 6sinθ로 바꿔 주는 직각삼각형을 제공하고, 도구 #4(변수 도입하기)는 감는 횟수를 조용히 1로 놓는 대신 미지수로 남겨 두며, 도구 #13(대수로 바꾸기)은 부피 방정식 하나를 쓴다. 마지막에 도구 #14(극단의 원리)가 건너뛰기 쉬운 두 가지 일을 한다. 부등식 sinθ ≤ 1이 두 바퀴 이상을 모두 죽이고, 구성을 앞 방향으로 돌려 보면 답에 해당하는 각을 가진 마름모가 실제로 부피 6인 통이 된다는 것이 확인된다. 필요조건만으로는 '말아서 부피 6인 원기둥을 만든다'는 문장이 정당화되지 않는다. 도구 #3(가능성 지우기)은 예각인지 둔각인지의 모호함을 정리하고, 탈락한 네 선택지가 각각 어떤 부피를 주는지 계산해 확인한다.

1STEP 1

테이프가 무엇을 같은 점으로 만드는지 따라가기

테이프가 두 변을 두 테두리로 만든다.

A ≡ D, B ≡ C ⟹ BC 와 AD 가 고리로 닫힌다 = 두 테두리

2STEP 2

통을 펼쳐서 방향을 확정하기

펼치면 어느 방향이 둘레인지 정해진다.

도는 방향 = BC 의 방향, h = dist(직선 BC, 직선 AD)

3STEP 3

테두리를 한 바퀴 돌아 반지름 구하기

테두리를 한 바퀴 돌면 반지름이 나온다.

6 = k · 2π r ⟹ r = 3/kπ, π r² = π·9/k²π² = 9/k²π

4STEP 4

높이는 사인값의 여섯 배

높이는 변 곱하기 사인이다.

h = AF = 6sinθ

5STEP 5

부피에 대한 방정식 하나

부피가 그 사인에 관한 방정식 하나가 된다.

V = π r²h = 9/k²π · 6sinθ = 54sinθ/k²π = 6 ⟹ sinθ = k²π/9

6STEP 6

한 바퀴뿐이고, 실제로 된다

여러 바퀴면 사인이 1을 넘어 한 바퀴만 가능하다.

k ≥ 2 → sinθ ≥ 4π/9 ≈ 1.396 ＞ 1 (불가능); k=1: r=3/π, h=2π/3, V = 9/π·2π/3 = 6

7STEP 7

두 마름모, 하나의 사인값

어느 마름모든 같은 사인 π/9을 준다, 보기 (B).

sin(180°-θ) = sinθ; V = 54sinθ/π: π/9↦ 6, 1/2↦27/π≈ 8.59, π/6↦ 9, π/4↦27/2, √(3)/2↦27√(3)/π≈ 14.89

정답

π/9

답으로 통을 다시 만들어 눈으로 보자. 반지름이 3/π ≈ 0.955이므로 지름은 약 1.9, 높이는 2π/3 ≈ 2.09인 땅딸막한 통이고, 부피는 9/π·2π/3 = 6이다. 다음으로 문제의 범위를 가늠하자. V = 54sinθ/π이고 sinθ ≤ 1이므로, 변의 길이가 6인 마름모로 만들 수 있는 가장 큰 통은 마름모가 정사각형일 때의 54/π ≈ 17.19이고, 마름모가 납작해질수록 부피는 0으로 줄어든다. 따라서 6은 도달 가능한 값이고, 사인값 눈금에서 6/17.19 ≈ 0.349 지점에 있어야 한다. 그 값이 바로 답 π/9이며, 아무것도 풀지 않고 얻은 셈이다. 셋째 점검은 늘어나지 않았다는 주장을 시험한다. 마름모의 넓이는 6 · 6sinθ = 4π ≈ 12.57이고, 통의 옆면 넓이는 2π r h = 2π·3/π·2π/3 = 4π다. 종이를 구부리기만 했다면 반드시 같아야 하고, 실제로 같다. 이제 함정이다. 이 문제의 마름모는 한 각이 20.4°인 얇은 조각이지, 본능적으로 그리게 되는 넉넉한 마름모가 아니다. 선택지 (B) 1/2와 (E) √(3)/2는 정확히 그 넉넉해 보이는 마름모들, 즉 30°와 60°의 사인값이고 부피로는 8.59와 14.89를 준다. 이 둘은 기하 없이 한 줄로도 지울 수 있다. sinθ가 유리수이면 V = 54sinθ/π는 무리수인데 주어진 부피 6은 무리수가 아니므로, 답에는 π가 들어 있어야 한다. (C) π/6과 (D) π/4는 이 필터는 통과하지만 값이 넘쳐서 각각 정확히 9와 13.5를 준다. 가장 배울 것이 많은 근접 오답은 선택지에 아예 없다. 종이를 다른 방향으로, 즉 접는 선이 AB에 평행하도록 구부리면 둘레가 6sinθ가 되어 54sin²θ/π = 6, 즉 sinθ = √(π)/3 ≈ 0.591이 나온다. 이 값은 선택지 어디에도 없는데, 이는 '원기둥'이라는 단어를 글자 그대로 받아들이라는 조용한 확인이다. 그 통은 테두리가 나선이라 원기둥이 아니기 때문이다.

💡핵심 정리

이 문제의 전부는 마름모의 어느 변이 원이 되는지 정하는 것이다. 붙인 변은 이음매가 되므로 붙이지 않은 변이 테두리이고, 그다음은 부피 공식 하나로 끝난다.

테이프가 무엇을 같은 점으로 만드는지 따라가기
통을 펼쳐서 방향을 확정하기
테두리를 한 바퀴 돌아 반지름 구하기
높이는 사인값의 여섯 배
부피에 대한 방정식 하나
한 바퀴뿐이고, 실제로 된다
두 마름모, 하나의 사인값