AMC 10 · 2008 · #17
학년 7 number-theorycounting답을 골라 클릭하세요.
각 단계에서 두 규칙 중 어느 쪽이 작동하는지는 지금 항이 짝수인지 홀수인지에만 달려 있고, 그 항이 얼마나 큰지와는 무관하다. 즉 이 수열의 진짜 상태는 홀짝이고, 문제는 홀짝이 세 단계 동안 어떻게 전달되는가로 귀착된다. 첫 번째 할 일은 세 부등식 중 실제로 정보를 담고 있는 것이 무엇인지 가려내는 것이다. 그중 둘은 홀수 출발값이면 언제나 저절로 성립하므로, 문제는 사실 세 개의 비교가 아니라 하나의 비교다. 그 하나의 비교는 a₃에 관한 예/아니오 질문 하나에 달려 있다. a₁ = 2m + 1로 두면 그 질문은 m에 관한 질문이 되고, 그것을 풀면 a₁을 4로 나눈 나머지에 관한 질문이 된다. 여기서 지켜야 할 규율은 조건이 필요조건이자 충분조건으로 나와야 한다는 것이다. 실패하는 출발값을 지우는 것은 절반이고, 살아남은 것이 정말로 성립함을 확인하는 것이 나머지 절반이다.
짝수 출발값은 첫 수에서 탈락
짝수 시작값은 첫 수에서 탈락한다.
양수를 반으로 나누면 언제나 내려가므로, 짝수 출발값은 한 수 만에 이미 뒤처진다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities세 부등식 중 둘은 공짜
홀수 시작값이면 세 조건 중 둘이 공짜다.
홀수 출발값은 대략 세 배로 뛰었다가 절반만 되돌아오므로, 두 수 뒤에도 여전히 앞서 있다.
7.EE.B.4Identify Subproblems관건은 a₃의 홀짝
셋째 항의 홀짝이 모든 것을 좌우한다.
두 번째로 반을 나누면 뛰어오른 만큼이 정확히 상쇄되지만, 두 번째로 세 배를 하면 벌어둔 차이가 굳어진다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities홀수 출발값에 이름 붙이기
홀수 시작값에 이름을 붙이면 그것이 나머지 조건이 된다.
2로 나누는 것은 이진수 자리를 한 칸 오른쪽으로 미는 일이므로, 세 번째 수에서 벌어질 일은 a₁의 끝에서 두 번째 비트가 결정한다.
반으로 나누는 것은 수를 이진 자릿수로 한 칸 오른쪽으로 미는 것이므로, 세 번째 걸음은 끝에서 두 번째 자리가 정한다.
▸ 왜?
수는 자릿수에 자리의 무게를 곱한 것이므로, 밑으로 나누면 각 자릿수가 지니는 무게만 옮겨진다.
▸ 왜?
다음 걸음이 반으로 나누느냐 세 배 하느냐는 밀린 수가 짝수냐 홀수냐에만 달렸다.
조건을 만족하는 출발값 세기
범위 안에서 세면 502, 보기 (A).
조건을 만족하는 수들은 나머지 네 종류 중 한 종류 전체이므로, 세는 일은 나눗셈 한 번과 양 끝 확인으로 끝난다.
4.OA.C.5Look For A Pattern출발값이 세 수 동안 계속 올라가는 것은 그것이 4의 배수보다 3 큰 수일 때뿐인데, 그때가 바로 반으로 나눈 수가 다시 홀수가 되는 경우이기 때문이다.
- 짝수 출발값은 첫 수에서 탈락
- 세 부등식 중 둘은 공짜
- 관건은 a₃의 홀짝
- 홀수 출발값에 이름 붙이기
- 조건을 만족하는 출발값 세기